【数学的逻辑】，[英]郑乐隽 著，崔凯 译，中信出版集团2024年3月版。
数学的「规则」来自哪里
为什么1+1=2？
对于这个问题，一个可能的回答是：「因为它就是这样！」它所隐含的意思是：「因为我就是这么说的！」这是一个让一代又一代孩子无比沮丧的回答。「因为我就是这么说的」意味着有那么一个高高在上的权威人物在制定规则，他可以随心所欲地使用他的权威而不需要解释任何理由，其他人必须臣服于这些规则。
由此产生沮丧感其实并不奇怪。实际上，数学所包含的一股强大冲动就是要打破所有的规则，找出这些规则不适用的阴暗场景，以表明所谓的权威人物其实并不像他们想象的那么有权威。
数学似乎是一个你不得不去遵守的规则世界，难怪它会给人僵化、枯燥之感。相比之下，我对数学的热爱源于我对打破规则的热爱，或者至少是对推动规则改变的热爱。这种行为经常让我产生一种羞怯感，因为我就像个永远都长不大的少年。我对数学的热爱还因为我总是对所有的事情问一个「为什么」，这更让我觉得自己就像个长不大的孩子。然而，恰恰是这两股冲动推动了人类认知的不断进步，尤其是对数学的理解，它们可以说是数学重要的起源。这一章我们就来谈谈这个问题。
我想强调一点，在日常生活中我是个奉公守法的人，因为我明白规则代表着群体的凝聚力，是社会安全的重要保障。我相信这些规则，也不介意遵守那些有明确目的性的规则。然而我不相信那些武断专横的规则，它们往往没有正当理由，或者我不相信它们所谓的正当理由。比如，「你必须每天整理好自己的床铺」（我实在不喜欢做这件事），或者「绝对不要用微波炉融化巧克力」（这的确容易把事情搞糟，但只要你每隔15秒钟搅拌一次，我发现它是没有问题的）。
电影【博士的爱情方程式】（2006）剧照。
所以，我想去探究数学那些显而易见的「规则」来自哪里，以及数学这个概念来自哪里。我会尝试描述，它如何从一粒种子以自然的过程成长为参天大树。所谓种子，就是我们每个人，尤其是孩子，经常会提出的那些幼稚的问题，比如为什么「1+1=2」，而且不会在知道答案之后心满意足地离开。就像任何植物的种子一样，它们也需要以正确的方式去培养，需要肥沃的土壤、足够的空间来伸展它们庞大的根系，当然还需要营养。不幸的是，我们这些幼稚的问题往往没有以这种方式得到足够的滋养，而是被贴上「愚蠢」的标签丢在一旁。在数学研究中，深刻与幼稚问题之间的差别或许就在于不同的滋养方式，也就是说，它们本无差别，都是同样的种子。
不喜欢数学的人经常被那些明显带有专横意味的结论困扰，即宣称什么东西就是正确答案，而没有任何解释：「1+1就是等于2！」然而，探究某些结论背后的原因让我们有机会构建起数学强大的基础，使其具有清晰的脉络和缜密的论证过程。有些人觉得清晰性和可靠性令人心神愉悦，其他人则感觉到一种约束感和强迫感。但是类似于「为什么1+1=2」的问题让我们有机会发现，数学其实并没有明确的正确答案，而是在不同的背景下，不同的事情可能是真的。这将引导我们探索数字最初从何而来，算术概念的起源，以及我们如何把这些概念应用到其他数学问题，比如图形问题上。它涉及数学发展过程中很多重要的主题，从建立事物之间的联系开始，认真对待抽象的概念，然后一点一点扩展我们的思维过程，已涵盖我们周围更多的世界。
与其思考「为什么1+1=2」，我们还不如先深入一步，思考一下这个等式是否在所有条件下都成立。
数学探讨的是场景背后的意义
儿童的天性似乎就是喜欢寻找反例。所谓反例，就是证明某件事不正确的真实案例。宣称某事永远正确就像为其构筑了一道高墙，而寻找与之矛盾的例子就像为推倒这道高墙而付出的努力。这是一种重要的数学学科发展动力。
要想了解孩子们对1+1这个概念的认知，你可以尝试询问：「如果我给你一块蛋糕，再给你一块蛋糕，那么现在你有几块蛋糕？」但他们有可能会兴高采烈地说：「一块都没有，因为我把它们都吃掉了。」也有可能会说：「一块都没有，因为我不喜欢蛋糕。」
父母们在互联网上贴出的无忌童言，总让我觉得兴味盎然。我最喜欢的一段对话是，当被问「乔有7个苹果，他用其中的5个苹果做了一个苹果派，他还剩下几个苹果」时，我朋友的孩子说：「他已经把苹果派吃掉了吗？」我喜欢那些在道理上正确的答案，而不是那些被公认为正确的答案。这是数学非常重要的一个层面，儿童的思维过程往往会揭露一些极为重要却经常被忽视的数学天性，也就是挑战不公正权威的天性。
高斯日记原件。纪录片【数学的故事】（2008）剧照。
孩子们挑战权威，或许是因为他们有意探索某些事物的边界，也可能是因为他们想寻找一种自我意识，毕竟这个世界没有留给他们太多的话语权。我清晰地记得在小时候，遵照大人们的指示做事是多么令人沮丧。而对某个成年人提出的具有引导性的问题，最有趣的回应方式是将问题的前提一举推翻，比如我会说我根本不喜欢蛋糕。
从某种程度上说，这样的回答有点儿恶作剧和破坏性的味道，但我觉得这也算是一种数学的动力。的确，数学或许就是某种恶作剧和破坏性的行为。换一种方式来说，数学就是在探寻事物的边界，就和孩子们的行为一样。我们想要搞清楚令某些事物为真的具体边界，这样我们就可以确定何时处于「安全」区域，然后在好奇心和勇气的驱使之下去探索更广阔的外部世界。这就像一个蹒跚学步的孩子有意跑远，想看看自己究竟跑到哪里才能让大人来追他们。思考1+1不等于2的成立条件就是一个绝佳的例子。
如果我说「我不是不累」，那就是说「我的确很累」。于是有的孩子发明了一个有趣的游戏，说「我不是不是不是不是不是不是不是不是不是不是不累」，进而变得有些歇斯底里，因为他们知道谁也记不住他们究竟说了几次「不是」。这让我想起了一道令人发狂的数学题，那是一个冗长、烦琐的计算过程，学生们很容易在负号上犯错。批改作业的痛苦之处在于，如果学生犯了2次错误，或者更糟糕犯了4次错误，他们的答案将是正确的。但是在数学的世界里，答案正确不是唯一的标准，过程也必须正确（下一章我会讨论这个问题），所以我不得不仔细查看每一个计算过程。
另一个让1+1=0的场景，就是所有的一切都已经是零。就像我小时候的那些糖果：我天生对人工色素过敏，而当时所有的糖果都含有人工色素，所以不管有多少糖果，对我来说都等于零。
有时候，四舍五入的误差也会导致1+1大于2。如果我们只讨论整数，那么1.4被视为1（最接近的整数），两个1.4就是2.8，应被视为3（最接近的整数）。所以在四舍五入的世界里，1+1有可能等于3。一个与此相似但稍有不同的情形是，如果你手里的钱只够买一杯咖啡，你的朋友也只带了够买一杯咖啡的钱，但把你们俩的钱合起来，或许可以买到第三杯咖啡，因为如果你们每个人手里的钱是一杯咖啡价格的1.5倍甚至1.9倍，你们就足够买3杯咖啡了。
有时候1+1大于2与繁殖有关。比如，你把一只公兔子与一只母兔子放在一起，之后你很有可能得到一大群兔子。还有可能是你把相对复杂的事物加在了一起，如果一对网球运动员与另一对网球运动员对垒，那么不同的排列组合会出现两对以上的网球运动员。如果第一对是A和B，第二对是C和D，我们就会有以下几种组合：AB、AC、AD、BC、BD、CD。所以一对网球运动员加另一对网球运动员就等于6对网球运动员。
有时候1+1=1：你把一堆沙子放在另一堆沙子上，结果还是一堆沙子。或者，就像我的一位艺术系学生指出的那样，如果把一种颜料与另一种颜料混合在一起，你只能得到一种颜色。或者，我曾经看到一个有趣的网络视频，如果你把一块意大利千层面放在另一块上面，它还是一块意大利千层面（只不过高一些）。
纪录片【解码数学】（2011）剧照。
一个稍有不同的1+1=1的场景是，如果你有一张优惠券，买一杯咖啡可以免费得到一个甜甜圈，但每人仅限使用一张优惠券，那么即使有两张优惠券，你也只能得到一个甜甜圈（除非你把它送给别人）。或者你在火车上按下「开门」键，不管按多少次，效果都与按一次相同。至少它对列车开门的效果是一样的，但就你可以表达沮丧心情的程度而言可能有所不同，也许这就是为什么总有人站在那里不停地按。
现在，你或许觉得以上情形根本不是1+1不等于2的真正原因，因为它们都不是真正意义上的「相加」，或者相加的不是真正的数字，还可能是其他一些牵强附会的原因。你当然可以这样想，但这并非数学的本质。而数学探讨的就是这些场景背后的意义。我们来看看事情按这种趋势发展的后果是什么，还有哪些与此类似的情况。让我们更清楚地了解1+1等于2以及不等于2的条件，这样我们就能比以前更深入地了解这个世界。
这就是数学的起源。为了探索1+1等于或不等于2的情形，我不希望仅仅去挖掘这个等式的起源，也想一路探究数学的起源。
数学源于人们想要更好地理解事物
数学源于人们想要更好地理解事物。为了更好地理解事物，我们会找到一种更容易的思考方式。一种方法是忽略困难的部分，但更好的方法是秉持这样一种观点，即让我们专注于与我们当前相关的部分，同时不要完全忘记其他部分的存在。
这有点儿像给照相机镜头配上一个滤镜，暂时让我们关注某一类颜色，之后再换上另一个滤镜关注其他颜色。或者就像在炖菜的过程中盛出锅里的水，让汤汁变少、变浓稠，当然你不会丢掉这些水，之后还会将其放回锅里。
数学最广为人知的起点是数字。大多数孩子最初接触数学，或者他们对数学的第一印象是数字，甚至很多人对数学留下的最后的印象也是数字。然而数学不仅仅关乎数字，虽然它呈现出数字的形态，但其实这门学科并不是为了研究数字。更准确地说，它是我们从自己的世界进入数字世界的过程，以及我们在这个过程中的收获。
数学与数字的紧密联系在于，对那些喜欢模糊性、创造性、想象力和自由探索的人来说，数字可能显得很无聊。我不想说数字多么有趣，恰恰相反，数字的确很无聊，这一点无可辩驳。
纪录片【解码数学】（2011）剧照。
然而，数学能包容、整合我们身边的一部分世界，让我们尽快从这部分工作中脱身，让我们富有冒险精神的大脑去探索更令人兴奋的那部分世界。这就像利用一台计算机处理生活中枯燥乏味的工作（对我来说包括支付账单、订购生活用品、调整食材），让我可以去做一些更有趣的事情：与人交往、演奏音乐、烹饪可口的食物。
数字源于我们简化身边世界的渴望。难怪数学题的答案总是那么简单，也总是那么枯燥。但是我们最初是如何发明数字的，过程却是相当复杂的。数字源于我们对不同事物之间相似性的探索，以及选择暂时忽略哪些不同。眼前的两个苹果和两个香蕉让我们看到了它们之间的某些相似之处，然后我们在大脑中形成「二」的概念。但是为了做到这一点，我们必须忽略苹果和香蕉作为诱人的水果的具体特征，而把它们当成抽象的、没有具体特征的事物。这是一次抽象化的飞跃，而且难度很大，孩子们总是需要一段时间来消化这个过程。我们可以适当引导和鼓励，比如在他们面前反复数数。但他们终究需要凭借自己的力量完成这个飞跃，旁人无法替代。
问题在于，如果忘记了这些事物本来拥有的丰富多彩的特征，只关注那些「让事情变得更加枯燥」的部分，我们就会让一切听起来很无聊。我们不能忘记整件事的初衷，那就是打开一扇洞悉整个世界的大门。
本文选自【数学的逻辑】，小标题为摘编者所加，非原文所有。已获得出版社授权刊发。
原文作者/[英]郑乐隽
摘编/何也
编辑/张进
导语校对/柳宝庆
