物理方程式作為理解和描述自然界的一種強大工具，以數學形式精確地表達萬物運作的規律，幫助人們理解和預測其物理過程。
物理方程式通常是基於對自然現象的詳細觀察和實驗數據的歸納總結而構建出來，科學家們透過分析和驗證這些數據找出規律，並用數學語言精確地表達這些規律。
讓我們按照物理學的發展歷程，來探討其中 5 個最重要的科學方程式。
1. 牛頓的第二定律：力與運動的關系
艾薩克·牛頓爵士不僅在數學領域做出了革命性的貢獻，他的工作還涵蓋了光學和力學。
1687 年，他在著作【自然哲學的數學原理】中首次系統地闡述了三大運動定律，其中第二定律如下所示：
其中，F 代表作用於物體上的總力，m 是物體的品質，a 是物體的加速度。
這個公式的關鍵在於它建立了力、品質和加速度之間的直接關系。重要的是要註意，加速度不僅指速度大小的變化，也包括方向的變化。
第二定律不僅在物理學中占有核心地位，它還是工程學、航空航天、汽車設計等多個科技領域的基礎。透過這一定律，工程師能夠電腦械系統在不同力的作用下的響應，設計開發更有效的推進系統，以及建立更穩定、安全的結構。
此外，這一定律也對教育有著深遠的影響，它是物理學教育中最早介紹的概念之一，幫助學生建立起關於力和運動的基本理解，是進一步探索更復雜物理現象的基礎。
2. 馬克士威-法拉第方程式：電磁感應的數學表達
1831 年：麥可·法拉第發現電磁感應現象。
1861 年至 1865 年：詹姆士·克拉克·馬克士威發表其關於電磁場的理論，包括對電磁感應的數學描述，即馬克士威-法拉第方程式。這個方程式是馬克士威方程式組中的一部份，是電磁理論中極為重要的一個方程式，它描述了電磁場中電場和磁場之間的交互作用。
馬克士威-法拉第方程式的數學運算式如下所示：
其中
∇ × E 表示電場 E 的旋度，它描述了電場線的「卷曲程度」或空間變化的方式。
B 是磁場。
∂B/∂t 表示磁場隨時間的變化率。
負號反映了根據冷次定律，電場的產生方向旨在抵消磁場的變化。
透過法拉第和馬克士威的貢獻，電磁學成為了現代工程和技術中不可或缺的一部份，從普通家用電器到復雜的工業機械，電磁原理無處不在。法拉第的工作為人類開啟了一個全新的科技領域，使他成為電力之父。而馬克士威的方程式則提供了這些現象的嚴格數學描述，增強了人類對電磁場理論的理解和套用能力。
3. 愛因史坦的質能等價公式：相對論的核心
20世紀最著名的物理學家艾伯特·愛因史坦提出了改變世界的理論——相對論，這是物理學史上的一大突破。
1905 年，他在論文【一個物體的慣性依賴於它所包含的能量嗎?】(Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig?)中首次提出了這一理念。
這一公式挑戰了長久以來物理學中的傳統觀念，即能量和品質被視為兩個獨立的實體。愛因史坦的研究表示，品質可以轉換成能量，反之亦然，這一點在核反應中得到了驗證。在核反應中，微小的品質轉化成了巨大的能量，這一過程在核電廠中被用來產生電力。不幸的是，這種品質到能量的轉換也是核武器的工作原理。在原子彈和氫彈中，微小的品質損失就能釋放出毀天滅地的能量。
4. 薛丁格方程式：量子力學的波動方程式
20世紀另一位偉大的物理學家，埃爾溫·薛丁格為量子力學的發展作出了不可磨滅的貢獻。他最著名的成就是薛丁格方程式，為此在 1933 年榮獲諾貝爾物理學獎。
薛丁格方程式是量子力學的核心部份，為我們提供了描述微觀粒子如電子在原子尺度下行為的數學工具。這是一組描述量子系統狀態隨時間演變的數學方程式式，是理解和預測量子力學現象的基礎。
薛丁格方程式通常有兩種形式：時間依賴型和時間獨立型。時間依賴型薛丁格方程式(含時薛丁格方程式)用於描述量子系統隨時間的動態變化，例如在變化的電磁場中的電子。它通常表示為下式：
在經典物理中，物體的狀態可以透過其位置和速度精確描述。然而，在量子尺度上，像電子這樣的粒子展現出波粒二象性，即它們既表現出粒子的特性，也表現出波的特性——存在牛頓定律無法預測或適用的規律。而薛丁格方程式透過波函式描述了這種波動性，其中波函式的振幅和相位在空間中分布，並隨時間變化。
薛丁格方程式是量子力學的基石，它不僅揭示了微觀粒子的非經典行為，還是理解化學鍵、固體物理、半導體等多個科學領域基本現象的關鍵。
5. 普朗克方程式：量子世界的開端
普朗克方程式是量子力學的基石之一，由馬克斯·普朗克在 1900 年首次提出。這個方程式解決了經典物理學無法解釋的一個重要問題：黑體放射線。
黑體是一個理想化的物體，能完全吸收所有落在它上面的放射線，不反射也不透過任何放射線。一個黑體在被加熱時會發射放射線（光和其他電磁波），其放射線特性只依賴於其溫度。
在 19 世紀末，物理學家們使用經典物理理論（如瑞立-金斯定律）來描述黑體放射線時遇到了棘手的問題，即所謂的「紫外災難」。按照經典理論，黑體在高頻（紫外）區域的放射線應無限增加，這與實驗結果嚴重不符。
而馬克斯·普朗克提出了一個大膽假設，即能量並非連續可得，而是以最小的單元或「量子」發射或吸收，成功解決了這個問題。每個量子的能量與放射線的頻率成正比，比例常數為普朗克常數 h。這就是普朗克方程式：
E = hν 其中 E 是單個量子的能量，ν（希臘字母 nu，表示頻率）是放射線的頻率，而 h 是普朗克常數，其值約為 6.626 × 10^(-34) 焦耳·秒。
這個方程式準確地預測了在所有頻率上的黑體放射線，成功解釋了紫外災難，標誌著量子力學的誕生，直接影響了愛因史坦關於光電效應的理論，後者進一步證明了光的量子性，為量子力學的發展奠定了基礎。
在實際套用中，普朗克方程式對於理解和設計如太陽能電池、光電傳感器和其他與光電現象相關的技術至關重要。
