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试验设计最速上升方向的计算原理

2024-01-22教育

在实际问题中,前进的步长太长了不一定能继续保持增长,太短了前进步伐太慢,一般认为最好的长度是前进一步后恰好抵达原来设计的边界。具体的寻求最速上升途径的过程,可以从更细致的图中看出。上图就是二维情况下(两个因子就是二维,三个因子就是三维)寻求最大值的过程。图中,我们先在左下角以O为中心的矩形区域开始进行因子设计,获得的响应变量的等值线见该区域上的那组平行直线(假定没有失拟,弯曲也不严重),回归方程为u=a+b1x1+ b2x2,b1和b2是回归系数,在以b1和b2为两直角边的直角三角形中,斜边长度为

,而斜边所指示方向就是最速上升方向(图中的OC方向)。在此方向上截取一段,使之恰好达到原来试验区域的边界点(图中的OA),则第一步前进到A,第二步沿此方向继续前进到B,以下依此类推,继续前进。这样求出最速上升方向不仅对两个自变量情况成立,一般到m个自变量依然成立。

需要注意的是,如果原来的自变量有范围的限制,一直沿最速上升途径前进并不一定是可行的,如果前进的途中已有某个自变量超出限制的情况,则应该令该自变量取相应边界上的值,其余自变量仍按原来的最速上升方向继续前进,直到响应变量的值出现下降为止。

在实际工作中,在求出A,B,…最速上升方向上的坐标点后,要分别进行一次试验以获得响应变量的值。如果响应变量的值是比前一个点上升的,则继续前进至下一个点;如果到某个点后,响应变量的值是比前一个点出现下降的,则证明在前一个点处已达到了此最速上升方向线上的最大值。再下一步应该是以这个最大点为中心,安排新一轮因子试验,这时如果弯曲不显著,证明离山的顶峰还差得远(虽然响应变量值出现了下降,但还是没能达到最佳区域),则应重复上述寻求新的最速上升路径,寻求新的最大点;如果弯曲严重,则应该以此次因子试验的结果为基础,安排更多点进行试验以形成一个响应曲面设计。求出响应变量的二次回归方程后,可以通过方程解出在试验区域内的最大值。 这就是由因子设计逐渐发展至响应曲面设计的一般途径。

当然,如果重复上述寻求新的最速上升路径,寻求新的最大点时,始终响应变量的值都是在降低,弯曲也不显著,说明采用因子试验拟合一个线性方程(可以含交叉乘积项)就足够了,无需采用响应曲面设计(无需增加自变量的平方项)。

上述计算还是比较复杂的,而且还要对原始自变量数据给出调整(比如求半间距D值或代码值与真值的转换等),另外因为还要不断判断所选定的点是否超出允许的边界范围。为了计算方便,我们提供了宏指令,由回归方程直接求出最速上升方向,给出前进10步的相应各自变量的取值,这里的处理办法是:如果超界则以后皆取边界点的值。当然,通常前进用不了10步,一般就会发现响应变量出现下降的情况,这时就不要再继续前进了。如果真的到了前进10步仍然一直上升的话,那也应该在最后一点处安排一次因子试验,以重新拟合线性方程,因为前进多步后,回归方程常常会出现变化,以新的数据来计算新的最速上升路径将会更准确些。

需求最速上升方向并安排试验的方法称为「最速上升法」,这部分内容如我们刚才所介绍的,必须另行计算,因此一般都认为最速上升法本身并不属于响应曲面设计的内容。