編輯：Aeneas 好困
【新智元導讀】全新的勾股定理證明方法，竟然被兩個高中女生證明出來了？而且還一次給了五個方法！陶哲軒對這項工作稱贊不已：五個證明與已知證明沒有明顯相似。而故事的起因，竟是一道高中數學競賽題。內附兩人自述證明過程影片，亮點多多。
兩年前，兩位高中在讀的學生發現了全新的勾股定理證明方法。
遺憾的是，當時並沒有更具體的論文，以提供實質性細節。
就在最近，兩人的全新論文，在【美國數學月刊】上正式發表了！
論文地址：https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/00029890.2024.2370240#abstract
在這篇論文中，兩位作者找到了至少五個證明，與任何標準的已知證明都沒有明顯的相似。
陶哲軒對這項工作稱贊不已。
他表示，怎樣精確定義兩個證明是否相同，是很微妙的。
以往的數學家證明勾股定理，用的多是代數或幾何的方法。
然而這兩個學生，卻采用了一種「三角學」的方法。（作為數學的一個分支，「三角學」主要研究的是三角形的變長和角度之間的關系，尤其是直角三角形。）
具體來說，她們采用了一種主要基於句法的方法：在她們看來，如果一個證明避免使用圓（或座標），但本質上使用角度，就可以被視為「三角學」證明。
就這樣，她們找到了至少5個不同的證明，比如其中一個證明就涉及幾何級數求和。
Ne’Kiya Jackson和Calcea Johnson
所以，是否存在「語意」方式，來區別這些證明呢？
陶哲軒表示，理論上這種方式應該是存在的，因為在某些歐幾裏得幾何的變種中，或許本文中的證明有的有效，有的無效，反之亦然。
但即使有沒有這種語意方式做區分，兩位學生的研究仍然非常引人入勝。
因為——即使是數學中最古老、最基礎的結果，有時也可以找到全新的證明角度！
仔細看這個影片，你會註意到真正懂數學的高中生講起數學題來，是怎樣的語氣和神情。
古老的勾股定理
勾股定理（亦稱畢達哥拉斯定理）是平面幾何中一個基本而重要的定理，也是人類早期發現並證明的重要數學定理之一：
平面上的直角三角形的兩條直角邊的長度（較短直角邊為勾長、較長直角邊為股長）的平方和等於斜邊長（弦長）的平方。反之，若平面上三角形中兩邊長的平方和等於第三邊邊長的平方，則它是直角三角形（直角所對的邊是第三邊）。
勾股定理可考的嚴謹數學證明，起源於歐幾裏得【幾何原本】中卷一的命題47。
如今，已經有了四百多個證明，諸如微分證明、面積證明等。
一道高中競賽題，500美元獎金
有趣的是，這項震驚數學圈的證明，催化劑竟是一道高中數學競賽的附加題。
這道題要求找出一種全新的勾股定理證明方法（真是一個敢想，一個敢做）
因為有500美元獎金，兩位學生決定嘗試一把。
結果兩人發現，這比想象的要困難得多……
她們度過了很多個不眠之夜，嘗試找到一個證明，卻屢屢失敗。
好在經過一個月的腦力大爆炸後，兩人都找出了新的解法。
她們高中的數學誌願者Rich認為，她們的證明足夠新穎，足以在數學會議上展示，因為通常只有專業數學家和大學生才會受邀。
她們開始並沒有信心，但還是決定參與。就是這時兩人開始展開合作。
接下來的兩三個月，兩人把課後、周末、假期的所有時間都用來打造這篇論文。
令人驚訝的是，兩位高中生的作品得到了認真對待，並被批準在2023年3月的美國數學學會東南分會會議上展示——於是兩人成為房間裏最年輕的演講者。
隨後，AMS鼓勵兩人把研究成果送出到學術期刊。
兩人從沒有為學術期刊寫論文的經驗，同時還在適應大學環境，需要應付小組論文、實驗室數據分析、學習用LaTeX寫程式碼等等任務。
兩人表示，在家人和社區的支持下，我們堅持了下來，這段路途絕對不是簡單的。
沒有現成的路線圖，沒人保證論文一定能發表。
有很多次，她們都想放棄這件事，好在最終，兩人堅持了下來。
令人困惑的三角學
而在這次發表的研究中，兩位學生介紹道：在數學中，或許沒有哪個學高比三角學更讓高中生感到困惑了。
三角學為什麽如此令人困惑？或許一個原因是，存在兩種不同的方法來定義相同的三角學術語。
圖1倒是展示了這些方法是如何被協調的，但結果卻適得其反——
學生們或許不會意識到，這兩個互不相同的三角學體系，已經被套在了相同的術語上，所以理解起來極其困難。
圖1：被作者稱為「數學中危害最大的圖」
兩位作者表示，避免混淆最合理的方法，就是給它們不同的名稱，來反映背後不同的理念。
實際上，這些方法中只有一種是三角學的，專註於這個真正的版本，就可以發現大量全新的勾股定理證明！
何為三角函數證明
「trigonometry」這個詞來源於希臘詞「trigonon」（三角形）和「metron」（測量），因此三角函數是透過測量三角形而得到的。
實際上，三角比中的正弦（sine）和余弦（cosine）定義為銳角的函數，其方法是建立一個直角三角形ABC，使得為其中一個銳角（如圖2左側所示），然後比較三邊中兩條邊的長度關系。
sin被定義為對邊BC與斜邊AB的比值，cos則是鄰邊AC與斜邊AB的比值。
圖2：正弦和余弦的三角函數和圓周定義
然而，這種正弦和余弦的定義法僅適用於銳角，其他角度則需要完全不同的方法。
對於這些角度，就要使用單位圓，從點(1,0)開始，逆時針方向（對於負角則順時針）沿圓周移動，直到達到所需的中心角，最終到達點(,)，然後定義cos=和sin=。
對於銳角來說，這來年各種方法得出的值是相同的，如圖1所示。
然而，只有第一種方法可以被合理地稱作「三角學」，第二種方法更適宜被叫做「圓周法」，源自希臘詞「circle」和「location」。（圖2）
它們的區別，意味著透過余弦定律證明畢達哥拉斯定理（我們從²=²+²−2 cos 開始，並令為直角）是圓周證明而不是三角證明：因為三角學無法計算直角的余弦，而圓周測量告訴我們cos(90°)=0。
同樣地，使用cos(−)公式證明畢達哥拉斯定理（在恒等式cos(−)= cos cos + sin sin 中，令=）也是圓周法而非三角學，使用sin(+)公式的證明亦然，其中和為互余角。
另外，某個證明是否屬於三角學，也可以因其他原因被否認。
例如，如圖3所示，畢達哥拉斯定理的最著名的證明之一，就使用了相似三角形△∼△∼△：由於/=/和/=/，所以=+=²/+²/，因此²+²=²。
圖3：透過相似三角形的證明
但這個證明很容易被覆寫為三角學。
由於/=/= sin ，因此有= sin =( sin ) sin = sin² ，同樣地，= cos² 。
然後=+= (sin² + cos² )，由此得1= sin² + cos² =(/)²+(/)²，因此²+²=²。
但是，在這裏使用三角術語並沒有增加任何實質內容——實際上只是復混成了對同一方法的簡單視角，因此可以說，這個證明使用了相似三角形而不是三角學。
更一般地，任何證明²+²=²的方法，都可以透過 sin 為a和 cos 為b（或透過將邊長a, b和c重新縮放為 sin , cos 和1）來重新表述為「三角」證明：首先證明 sin² + cos² =1，然後透過反向替換 sin =/和 cos =/來證明²+²=²。
這種現象表明，這種迂回的畢達哥拉斯定理的「三角」證明值得被懷疑（即首先證明恒等式 sin² + cos² =1），不然，「三角學」就僅僅是用正弦和余弦對邊長的重復敘述罷了。
兩位作者表示，事實上，她們也不知道如何在畢達哥拉斯定理的「三角」證明和非三角證明之間劃清界限。
但根據設定的標準，就可以有一個起點，按照這個標準，兩個畢達哥拉斯定理的證明可以算作三角函數的證明。
第一個證明來自J. Zimba，使用了復角公式的代數性質，證明了對任意銳角，都有 sin ² + cos² = 1。
另一個證明來自N. Luzia，他使用了復角公式和半形公式，證明了對於任意銳角，都有 sin²(/2) + cos²(/2) = 1。
註意，當角度/2為45°時，Luzia的方法在等腰直角三角形上不成立，但在45°</2<90°時有效，因為此時sin²(/2) + cos²(/2) = cos²(90°−/2) + sin²(90°−/2) = 1。
勾股定理的五個新證明
至此，兩位學生就證明了對於等腰直角三角形的勾股定理，由此開始了勾股定理的五個新證明。
在以下五個證明中的前四個中，她們假設ABC是一個非等腰直角三角形，其中<，或者<45°<。
每個證明都從一個直角三角形的圖形開始。
證明1
證明2
證明3
證明4
證明5
方法
在任何創造性活動中，一個基本問題是：「我能用現有的東西創造出什麽？」
在勾股定理中，這個問題就變成了：「我能用給定的直角三角形ABC，創造出什麽樣的直角三角形？」
為此，作者將新三角形的建立限制在一個條件下：其角度是△的三個角、和90°（=+）的整數和/或差。
這樣一來，問題的答案就簡單了。
引理1：
如果ABC是一個等腰直角三角形（==45），那麽唯一的角度為和的整數線性組合的三角形是等腰直角三角形。
在直角三角形ABC中，如果 < ，則存在一個直角三角形，其銳角為2和−。此外，2和−是和的唯一整數線性組合，它們將形成每對{,}的直角三角形的銳角。
證明：
a. 由於等腰直角三角形ABC的所有角度都是45的倍數，因此任何新三角形（其角度限制為△的角度的和/或差）的所有角度仍然是45的倍數，因此這個三角形必須是等腰直角三角形。
換句話說，如果我們從一個等腰直角三角形開始，不可能創造出一個新三角形。
b. 現在假設 < 。
如果新構建的直角三角形的一個銳角為 + （,∈ℤ），那麽它的補角為90 – ( + ) =(+)–( + ) = (1−) + (1−)。
如果整數n和1−都不為零，且其中一個（比如n）是負的，那麽用⏧⏧替換n，我們看到其中一個角度為 – ，其中m>n>0。
但是當為90/(+)度時，它的補角為90/(+)，這種構造給我們一個角度為 – = 90/(+) – 90/(+)=0的三角形。
這種不可能性表明必須有=0，因此其中一個銳角測量為，對於某個∈ℕ。
如果=1，那麽我們簡單地恢復了原來的三角形ABC。
如果=2，那麽我們得到一個新的直角三角形，其銳角測量為2和 – 。（註意2<90，因為<45。）
最後，我們看到≥3是不可能的，因為如果30≤<45，則不存在這樣的三角形。
這項引理準確地指引我們尋找勾股定理的證明（對於非等腰直角三角形）：從原來的三角形ABC開始，我們嘗試以盡可能多的方式創造一個新的直角三角形，其角度為2， – 和90度。
例如，創造一個2角的顯而易見的方法是將兩個△結合在一起，如圖13所示。
圖13：創造一個2角
這樣就建立了一個等腰三角形′，其角度分別為2、和，因此下一步是將其中一個角轉化為 – 或90度（圖13）。
為了在頂點′形成一個90度的角，我們構造了一條與′成角的射線。延長邊AB至與射線在點D相交，就得到了第一個證明的圖形（圖14）。
圖14：建立第一個證明
或者，如果我們在斜邊AB的另一側構造一個2角，並延長BC至與新射線在點D相交，如下所示，就得到了直接指向第二個證明的圖形（圖15）。
圖15：建立第二個證明
這種簡單的方法產生了多個新的證明，其中五個如上圖所示，而另外五個或者更多證明方法，可以留待讀者去發現。
參考資料：
https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/00029890.2024.2370240#d1e4959
