上篇文章提到了數學中四個重要的常數， e(自然常數)、π（圓周率）、i（虛數單位）、1（自然數單位）， 雖然我們發現它們很久了，但對它們性質的了解，目前還是知之甚少。直到18世紀，e和π這兩個常數的無理性才被證明。而超越性的證明又要比無理性困難地多，又過了100年，也就是在 19世紀 人們更加了解超越數、超越函數之後，e和π的超越性才被證明。直到現在數學家只發現了屈指可數的超越數，雖然 超越數的數量要比代數數多的多 ，因為代數數是可數的，測度為0。這一篇先證明無理性。
記得我是在學微積分的時候開始考慮如何證明e是無理數的。我發現現在對數論感興趣的中年人也很多，也許是在 年輕求學時播下了熱愛數學的種子 ，卻一直沒有機會像數學家一樣做數學。 純粹數學的特點是它不依賴於任何外物 ，一支筆一張紙就可以徜徉數學王國了，類似高僧面壁打坐，進入心流狀態，忘記時間，忘記煩惱。 雖然我們從小學一年級就開始學習數學，但老實說大多數人還沒有入門，所以後期我也 打算寫給中小學生的數學啟蒙書，盡早地培養數學審美 ，即知道 什麽是好數學什麽是壞數學 ，數學是研究什麽的？這樣會避免走很多彎路。例如像背圓周率多少多少位、心算什麽的其實與數學沒多大關系。為了感謝讀者支持，整理的 【華章數學譯叢系列】 作為讀者自學教材免費分享給讀者，關註公眾HAO:酷學線上課堂。或者向公眾號發送訊息「get」，就可以獲得免費資料的連結。
先來證明e是無理數，它相對π來說容易一點。上一篇文章給出過指數函數的冪級數表示：
現在用反證法證明e是無理數。
取n>b,則有 0<M<1 ,則等式右邊不是整數，等式不成立，矛盾！
從這個證明可看出，證明e是無理數，是用e的無窮級數形式來描述e，這樣就可以在代數式中推出矛盾。e本來就是可用有理函數極限定義，它離有理數還不算遠，而對於圓周率π來說，它的定義是圓的周長和直徑的比，這是幾何角度的定義。在分析學中可把它定義成滿足sinx=0的最小正實數x，第一個將π表示成無窮級數的是萊布尼茨。
萊布尼茨讓我們對π更加了解了。在1761年瑞士數學家蘭伯特第一次證明e是無理數，這不是最簡潔的證明，但我覺得很有趣，蘭伯特用到了他那個時代流行但當代所廢棄的數學工具： 連分式 ，我在前面的文章【為何作為無理數的黃金分割數可用迴圈的連分數表示？】介紹過連分式，現在幾乎很難見到關於連分數的著作了，歷來中學數學大綱都未將其包含進去。蘭伯特從正切函數的連分式入手，首先他證明了一個命題： 非0有理數的正切值一定是一個無理數。
蘭伯特把tan(x)寫成無限連分數形式
假設x是非0有理數，不妨設 x=a/b ,要證明 tan(a/b) 是無理數。
證明了"非0有理數的正切值一定是一個無理數"之後，就可以用反證法證明最終的結論了，已知tan(π/4)=1，而1是有理數，所以π/4是無理數，推出π是無理數。
可以把連分式看作數列，例如計算tan(π/4),第一項為π/4，第二項為(π/4)/[1-(π/4)^2/3]，當項數增大，這個數值越來越逼近tan(π/4)。感興趣的讀者可以思考其他證明e和π是無理數的方法。
