從某個方面上講，法國數學家韋達是研究方程式的先驅

2024-07-31科學

弗朗索瓦·韋達（François Viète，1540－1603），法國數學家，在歐洲被尊稱為「代數學之父」。韋達最重要的貢獻是對代數學的推進，他最早系統地引入代數符號，推進了方程式論的發展。

對法國人而言，16 世紀不是一段幸福的時光。法蘭索瓦一世（1515~1547 年在位）統治的大部份時間以及大部份國家財富消耗在了與神聖羅馬帝國皇帝查理五世的戰爭中。1559 年，卡托 – 康布雷齊和約締結，戰爭告一段落。然而，這個軍隊幾乎消耗殆盡的國家還來不及喘息，法國天主教徒和後來通常被稱為胡格諾派的新教徒就開始互相殘殺。

直到 1598 年南特敕令頒布之後，他們才停止戰爭，或者從某種程度上說，法國暫停戰爭達 87 年。在此之前的 36 年裏，法國爆發了 8 次內戰，經歷了一次朝代更叠（波旁王朝取代了瓦盧瓦王朝）。這些戰爭並非純粹的宗教戰爭，地域情結、社會階層以及國際政治等諸多因素都是這些戰爭的誘因。西班牙國王腓力二世，歷史上最大的滋事者之一，竭盡全力把時局攪亂。至於社會階層，胡格諾教徒在城市中產階級中勢力強大，而且有大概一半的貴族也是新教徒。相比之下，在大部份地區，農民仍然是天主教徒。

1540 年，韋達出生在一個胡格諾教徒家庭，他的父親是一名律師。 1560 年，他從普瓦捷大學畢業，獲得法學學位。在他畢業後不到兩年，法國宗教戰爭就開始了，其標誌事件是香檳地區瓦西鎮的胡格諾教徒遭到屠殺。

韋達後來的職業生涯受到了戰爭的影響。他放棄了律師工作，成為一個貴族家庭的家庭教師。隨後他在 1570 年搬到巴黎，很明顯他希望得到政府的雇用。當時年輕的查理九世在位，但是他的母親凱瑟琳·德·美第奇（她也是西班牙國王腓力二世的嶽母）才是真正的掌權者。為了保持王權強大且不受制於各種勢力，她挑撥胡格諾教徒與天主教徒之間的關系。這決定了整個 16 世紀 60 年代到80 年代法國的歷史行程，而且其間經常發生荒謬的事情。韋達在巴黎時，正是查理九世批準於聖巴托羅繆之夜（1572 年 8 月 24日）開始屠殺胡格諾教徒之時。然而在第二年，韋達這個胡格諾教徒卻被國王任命為布列塔尼地區的政府官員。

查理九世在 1574 年去世，凱瑟琳的第三個兒子亨利三世繼位。六年後，韋達回到巴黎擔任這位國王的顧問。然而，凱瑟琳最小的兒子死於 1584 年，這導致瓦盧瓦王朝沒有了繼承人。雖然亨利三世已經結婚，而且只有 33 歲，但是他常常穿戴奢華，愛在宮廷裏穿女裝。人們認為他不太可能生兒子。因此，他的遠親——波旁家族納瓦拉王國的亨利就成了王位的合法繼承人。但是，亨利是一個新教徒，這讓法國內外的天主教徒感到恐慌。宮廷內的明爭暗鬥變得更加激烈。韋達被迫離開，不得不在布爾訥夫灣的濱海博瓦爾小鎮上的家裏休了五年的長假。 1584 年到 1589 年的這段時間是韋達數學創造力的鼎盛時期，當時他已經快 50 歲，能在數學上有這樣的創造力真是奇跡。 當時，法國宮廷的政治鬥爭錯綜復雜，以至於數學史學家很難知道該感謝誰。

就在韋達返回宮廷的四個月後，亨利三世被暗殺，他是在馬桶上被刺死的。納瓦拉王國的亨利成為亨利四世，成為波旁王朝的第一位國王。這位新國王是一名新教徒，這對韋達很有利，韋達很高興成為新國王的隨從。然而，即便天主教徒們無法就王位的競爭候選人達成一致，他們也不會讓亨利四世順利繼位。西班牙國王腓力二世非常喜歡自己的女兒，為了她的利益同法國宮廷中的派系暗中勾結。這些密謀都是用密碼寫在信件上的。亨利發現身邊有韋達這位數學家，便派他去破譯西班牙人的密碼。經過幾個月的努力，韋達破譯了這些密碼。當腓力二世得知他自認為不可破解的密碼已被破譯時，他向羅馬教皇抱怨說亨利使用了魔法。

韋達一直輔佐亨利四世，直到 1602 年 12 月他被宮廷免職。然後他回到家鄉，在此一年後就去世了。

除了成功破譯密碼，韋達在為宮廷服務期間在數學上取得的輝煌成就發生在 1593 年。那一年，佛蘭德斯數學家阿德賴恩·範·羅門（1561—1615）出版了一部名為【理想的數學】的著作，書中有一篇關於當時所有傑出數學家的調查。荷蘭駐亨利四世宮廷大使向亨利指出，該書中一個法國人也沒有列出。為了說明這一點，他給國王展示了羅門的書裏的一個問題，作者為這個問題的解答設立了獎勵。這個問題是求解一個數 x ，使其滿足一個一元 45 次方程式：

顯然，這位外交官（他似乎不善於外交）是在嘲笑沒有一個法國數學家會解這個問題。亨利派人找來韋達，韋達當場就求出一個解，並且在第二天又給出了 22 個解。

當然，韋達知道羅門不是隨意給出這個方程式的，它一定是一個羅門自己知道如何求解的方程式。在那個時代，韋達有著豐富的三角學知識，而三角學正是當時發展迅猛的一個數學分支。他的前兩本書就是三角函數表大全。三角學是研究圓的弧長和弦長之間的數量關系的學問，其中全都是正弦、余弦及其冪的長公式。韋達根據這個方程式前幾項的系數快速心算後，得出他面前的式子就是將 2sin45 α 表示成 x = 2sin α 的多項式。於是，三角學幫他求出了解。（至少幫他求出了 23 個正數解。還有 22 個負數解，韋達忽略了它們，顯然是因為他認為負數沒有意義。）

韋達 40 多歲時，在海邊流放的五年裏寫成了一部名為【分析引論】（ In artem analyticem isagoge ）的著作。該書表明了代數學向前邁進了一大步，同時也向後倒退了一小步。向前的一步是指他第一次系統地使用字母來代表數。這個想法的萌芽可以追溯到丟番圖，但是韋達是第一個有效地分配字母、使一套字母可以代表許多不同的量的數學家。 這就是現代字母符號體系的開端。

韋達的字母符號體系不同於以往的所有方案，它不僅僅局限於表示未知量。他把量分成兩大類：一類是未知量，也就是「要求的量」（quaesita）；另一類是已知量，也就是「給定的量」（data）。他用大寫元音字母 A、E、I、O、U 和 Y 表示未知量，用大寫輔音字母 B、C、D 等表示已知量。例如，方程式 bx ² + dx = z 用韋達的字母符號體系表示為：

B in A Quadratum, plus D plano in A , aequari Z solido.

這裏的 A 是未知量，就是我們現在的 x 。其他符號都是已知量。

方程式中出現的「plano」和「solido」就是我上面提到的倒退的一步。韋達深受古代幾何學的影響，他希望代數能夠嚴格地建立在幾何概念之上。在他看來，這迫使他遵循 齊次性原則 ，也就是說，方程式中的每一項必須具有相同的維度。除非另外說明，否則每個符號都代表一條適當長度的線段。在上面給出的方程式中， b 和 x （韋達的 B 和 A ）都是一維的。於是 bx ² 就是三維的。因此 dx 必須也是三維的，同理， z 也是三維的。因為 x 是一維線段，所以 d 必須是二維的，因此是「 D plano」。類似地， z 必須是三維的，因此是「 Z solido」。你能明白韋達的意思，但是這個齊次性原則限制了他的手腳，導致他的代數的某些部份難以理解。這似乎有點兒奇怪，一個能巧妙求解 45 次多項式方程式的人居然被古典幾何和三個維度牢牢地束縛住了。

韋達對方程式的處理在某些方面不如邦貝利「時髦」。他反對負數，不承認負數是方程式的解。他對復數的態度甚至更落後。他僅在一本關於幾何學的書中處理過三次方程式，在那裏，他基於用 sin α 表示 sin3 α 的公式提出了一種三角學解法。

不過，從某個方面上講，韋達是研究方程式的先驅，他點燃的蠟燭在 200 年後成為一座巨大的燈塔。 在他的有生之年，這個特別的發現沒有被發表。在他去世 12 年後，他的蘇格蘭朋友亞歷山大·安德森（1582—1619）發表了他的兩篇關於方程式理論的論文。在題為【論方程式的整理和修正】的第二篇論文中，韋達開創了一條研究方程式的解的對稱性的道路，也為伽羅瓦理論、群論和近世代數的誕生開辟了道路。

考慮二次方程式 x ² + px + q = 0。假設方程式的兩個根是 α 和 β ，也就是使這個方程式成立的兩個數。如果 x 是 α ，或者 x 是 β ，並且 x 不是其他數，那麽下面的等式一定成立