關於歐拉公式，我寫了很多文章，但這是一個百談不厭的話題，因為它確實太美麗，太吸引人了。一個只有四個字元的等式，包含的資訊量是驚人的，並且意義也非常深刻。這篇文章，我們將一起看看歐拉公式是如何擴充套件e的定義的。
很多人第一次看到這個公式都會感到震驚。為什麽這個等式可以成立？這幾乎就是復數的定義，我們可以這樣寫：
它擴充套件了e的定義，使之對復數有意義 ，同時對實數仍然有意義。首先，讓我們先理解方程式的右邊，它與初級幾何學有很好的聯系。
復數的視覺化
我們可以把復數看作二維平面上的一個點，用半徑和角度來描述，或者用x座標和y座標來定義。Y軸對應的是 "虛軸"，X軸對應的是 "實數軸"。所以點（2,3）對應於2+3i，其中i是-1的平方根。
兩個復數相加對應的只是將它們的實部和虛部相加。例如，（2+3i）+（1+5i）=（3+8i）。
復數的乘法可以用一種有趣的方式來形象化： 它對應於旋轉和半徑的變化 。在這裏，-1的平方根是完全有意義的，因為我們已經擴充套件了乘法的定義。點 i 的角是90度，長度是1。所以，當點z乘以 i 時，相當於將點z旋轉90度，並將長度擴大1倍。當然，半徑乘以1還是不變的。如果用2i乘以z，它就會旋轉90度，向外拉伸2倍。
現在，我們做一件有趣的事情，把定義在實數上的e的規則也用在復數上，看看會發生什麽！讓我們把兩個數碼相乘。然而，我們做的事情有點奇怪。我們把復數寫成下面的形式：
z_1是藍色的線，角度和半徑較大，z_2是紅色的線，角度和半徑較小。
現在我們將它們相乘，同時顯示出視覺上和代數上的情況。
從視覺上看，當我們把紅線和藍線（或 "向量"）"相乘 "時，會得到紫色的線。
在復數乘法中，我們將角度相加，並將半徑相乘。紫線的角度是紅線的角度和藍線的角度之和。紫色線的長度是紅色線的長度與藍色線的長度的乘積。
現在讓我們直觀地看看，當旋轉紅線時，紫線會發生什麽變化。下圖顯示，它的長度保持不變，但紫線的旋轉量與紅線的旋轉量相同。
現在，讓我們用一些代數來正式說明這一點：
我們看到有兩個e乘在一起，對於實數：
所以我們試試用同樣的規則來處理復數（還沒有正式證明）。對復數使用同樣的規則：
所以總的來說，我們得到了這個結果：
因此，在代數上我們得到了我們所看到的視覺效果！ 為了算出兩個復數的乘積，我們把它們的角度相加，再乘以它們的半徑。
e，sin，cos
現在我們來看看我們是如何寫復數的。我們可以用實部和復部來表達，也可以用半徑和角度來表達。我們如何將這兩者聯系起來呢？
我們先寫z = x + iy
現在，看看這兩種表示方法。
左邊的圖片是把復數寫成實部和虛部之和。右邊的圖片，用三角函數的定義將其轉換為用cos和sin來寫這兩個部份。
這看起來很簡單。 現在，神奇的一幕出現了。
這就是歐拉的天才之處 。 他擴充套件了e的定義，使之與定義在復數上的運算自然地配合。 (如果你學習了關於冪級數的課程，就會更加明白他的想法有多麽不可思議）。
數學中最著名的一行
現在，我們來看一下數學中最著名的一行文字（符號）：
讓我們用我們的新工具來解讀它：
這個公式突出了歐拉在e和復數之間的聯系之美，但實際上，一旦我們理解了定義和符號，就不會覺得那麽復雜了。 我們所做的只是將一個數碼從半徑和角度的表示轉換為實部+虛部的表示。
故事並沒有到此結束。 這個公式暗示了復數世界將是多麽的神奇 。然而，直到19世紀，數學家（特別是柯西和黎曼）才揭開了復數中微積分的秘密。
冪級數，以及擴充套件 "e "的定義
冪級數提供了一個很好的方法來擴充套件e、sin和cos的定義，從它們作為實數到實數的函數的定義，擴充套件到它們在複數平面上的定義。
這表明歐拉的定義確實與實數的定義完美地結合在一起。
e^x、sin(x)和cos(x)都可以被定義為一個冪級數。
這意味著，對於每一個點x，這些函數的值都可以透過上面的無限級數來估算。
現在，回想一下，i^2=-1，是我們研究復數的開端。那麽我們為什麽不試試下面的方法呢？
我們需要簡化i的所有冪：
這個規律會重復出現。例如：
所以我們要進行化簡：
現在我們把實部和虛部份開：
記得sin和cos的冪級數定義嗎？如果我再寫幾個術語，你就會想起我在本節開始時寫的冪級數。
我再給你最後一次機會來發現它：
太神奇了！！
事實證明，有了我們對 i 的定義，有了我們對cos、sin和e的冪級數定義，這個公式就非常合理了。復數乘法的幾何定義不僅看起來很酷，而且驚人地將e的值與cos和sin聯系起來。
最後
誰能想到呢! 希臘人創造的描述圓上座標的函數（cos和sin）與e有神秘的聯系，一旦我們把數碼擴充套件到包括負1的平方根，它就會向自身微分。
這是個奇妙的世界。
