本文解決問題：三角函數影像特性難記，三角函數常用值難背，誘導公式不熟，常用恒等式難背，公式的來源心慌，常用公式對應的題型不熟等等。為你實作過目不忘，做到真正的了然於心，一天之內掌握三角函數題型裏除導數外的大部份題型，價值較高，值得收藏。
三角函數上篇講來龍去脈
中篇強調定理的證明
下篇強調圖形與案例
內容概覽：
速記分享：
常用三角函數的值
「永久記住只需要3步」
思路：
1，記住sinπ/6的影像也就是sin30度的影像，斜邊等於垂直邊的2倍，如圖：
2，額外再背誦2個帶根號的值
3，將弧度與度數對應起來，並將度數順序重新調整為30度，60度，45度，90度，0度這個順序，然後發現sinα的值與cosα的值是一一對應的，那麽cosα無需記憶。由於tanα=sinα/cosα，則tanα同樣無需記憶，瞬間完成背誦
常用三角函數關系表達
一張圖立刻記憶sinα，cosα，tanα，secα，cscα，cotα的關系
圖形特性速記
函數影像上下分別的寬度，amplitude，轉譯過來叫振幅，首字母縮寫為A
函數影像上在某個範圍裏的重復，period，轉譯過來叫周期，首字母縮寫為P
函數在x軸上的水平位移， horizontal shift，左+右-，首字母縮寫為HS
函數在y軸上的垂直位移，vertical shift，上+下-，首字母縮寫為VS
綜合起來
誘導公式速記
案例驗證如下：
經典恒等式
恒等式最重要的三個，分別用三張圖記憶
1，針對第一個
根據勾股定理，在單位圓中求OP邊
2，針對第二個
透過定理的證明過程，從影像觀察實作原理上的速記
3，針對第三個
透過以上第2個公式，推出這第3個公式，從原理上速記
特殊恒等式
透過一張圖實作永久記憶
常規定理查表
綜合練習：
弧度
例1：半徑為10米的圓上，求以下中心角對應的弧長？
1，4π/5
2，110度
思路：
1，從定理表中，查出弧長公式
其中θ是弧度
2，將度數換成弧度
3，利用公式計算弧長
解法：
例2：在半徑為8的圓中，一條弧的長度為10π，該弧對應的中心角的弧度和角度是多少？
思路：
1，從定理表中找出弧長公式
其中θ是弧度
2，根據弧長公式，和已知條件弧長與半徑，反向求出θ角
解法：
例3，圓直徑12，求圓心角80度的對應弧長？
思路：
1，從定理表中找出弧長公式
其中θ是弧度
2，半徑是直徑的一半，再將度數換成弧度，代入弧長公式求解
解法：
例4，直徑1米的圓，捲動30厘米，轉動多少角度？
思路：
1，從定理表中找出弧長公式
其中θ是弧度
2，根據直徑求出半徑，半徑是直徑的一半，根據弧長公式反推角度
解法：
例5，計算數值
思路：
1，常用三角函數數值，三角函數關系表達圖，誘導公式圖，進行計算
解法：
性質
例6，sin，cos，tan，根據其中一個值，求出另外2個值
思路：
1，明確任意角的三角函數定義方法，在座標軸上取點，然後代入三角函數公式
解法：
例7，求出以下函數的周期
思路：
1，找出圖形特性圖，根據特性求解周期
2，根據圖形特性，將題目中的函數變換為標準型，求得P值，即周期
解法：
例8，繪制影像
思路：
1，先將tan的影像使用5點作圖法畫出
2，在取各個值的倒數或者負數，畫出目標值
3，從影像上判斷周期與對稱性
解法：
例9，用α與θ表示r
定理鞏固：
例10：已知扇形周長是20，該面積最大值為多少？
思路，根據條件周長20，代入定理表中扇形周長公式，得出半徑R與角度θ的等式關系。將扇形面積公式中的角度θ完全由半徑R替換，形成的面積公式進行一下技術變換，看出最大值是25
定理查表：
例11：在座標系中，已知角θ的終邊過點P（-5，-1），求sinθ+cosθ的值？
思路，根據sin與cos的值只與P點的x，y值相關。可以用p點先求出x與y的值，再根據x，y的值求出r的值，最後求得sinθ+cosθ的值
定理查表：
例12：
思路：從定理表中，知道誘導公式，透過誘導公式化簡上述值，根據平方和公式得出sin與cos分別的值，最後得到計算結果
定理查表：
例13：
思路：先根據誘導公式化簡f（a），和cos（α+π/2），根據平方和公式求得sinα與cosα的值，再求出f（a）的值
定理查表：
例14：已知tanα=-5，α是第二象限角，求sinα+cosα的值？
思路：根據tanα=sinα/cosα=-5得出sinα與cosα的關系等式，代入未知數n求得組成sinα與cosα具體x，y，r的值，然後求出sinα+cosα的值
定理查表：
例15：若cos（-160 `）=a，則tan=20 `等於多少？
思路：tan20 `=sin20 `/cos20 `，求sin20`與cos20`的值，根據cos（-160`）=cos（20`-π），透過誘導公式進行變換求得cos20`的值，再透過平方和公式求得sin20`的值，然後代入tan20`
定理查表：
例16：
思路：這個題目我不喜歡，但是在某些特定的建模領域內也需要一定程度的換元變換，本質就是在宏觀層面找到一定的設計規律，用更簡單的變量做計算替換
定理查表：
例17：
思路：利用平方和公式，求得sinθcosθ的值，根據θ角度小於45度，因此sinθ-cosθ<0，求出sinθ-cosθ的值，再分別求出sinθ與cosθ的值，根據tanθ=sinθ/cosθ求tanθ
定理查表：
例18：
已知sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0，則sin（α+β）的值為多少？
思路：基於兩角和差的正弦定理從sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0的關系中配出sinαcosβ與sinβcosα的值，進而求出sin（α+β）的值
定理查表：
例19：
思路：對於無法使用誘導公式的類別，可以采用賦值抽象角的方法，將目標α+β轉換為另外兩個角a與b的和或者差，再透過α與β的角度大小，判斷出對應的a與b角在第幾象限，求出角a與角b的正余弦，最後根據兩角和差的余弦定理求得目標
定理查表：
例20：
思路：cosβ=cos【（α+β）-α】 根據兩角和差余弦定理，可以得到cosβ
定理查表：
例21：將兩個函數合成一個函數，推理過程參考三角函數中篇
思路：
- 硬算，利用兩角和差正弦定理拆開條件1，結合平方和定理，將sinθ和cosθ值算出來
- 使用將兩個函數合成一個函數（輔助角定理），根據拆開的條件1，整合成目標
定理查表：
例22：
思路：用兩角和差正弦定理來拆開條件，重新按照sinx與cosx進行組合，配成一組sin（x+c）的函數
定理查表：
例23：
思路：將x軸與Q射線的夾角設為α，將x軸與P射線的夾角設為β，θ=α-β，透過誘導公式將問題簡化，在透過2角和差公式的正弦與余弦定理拆開，進行計算得值
定理查表：
例24：
思路：將tan(α-2β)拆分成tan（（α-β）-β），透過查表，用兩角和的正切公式，計算得值。如果不能查表，透過兩角和的正弦定理與余弦定理可以立即推出正切公式，再代入計算
定理查表：
例25：
思路：
透過誘導公式簡化目標函數，再利用已知條件設出抽象角A與角B，利用A與B的組合達到簡化後的目標函數的弧度，利用兩角和差的余弦定理，求出值
定理查表：
例26：
思路：
將2α統一化簡為α，將cos轉化為sin，結合平方和定理，根據α的取值判定sinα的符號與取值範圍，最終透過計算得值
定理查表：
例27：
思路：
Cos2α化簡為cosα的運算式，透過已知條件sinα+cosα與平方和定理，推出sinα-cosα，根據α弧度的取值範圍，得出cosα的值，再推出cos2α
定理查表：
例28：
思路：先考慮換元法，進行求解，解不出來就直接硬算
定理查表：
圖形回顧：
sinα的影像
cosα的影像
tanα的影像
影像變換
例29，畫出函數y=|tanx|cosx（-π/2<x<π/2）的大致影像
思路：先把函數化簡，分段求出運算式，然後根據sinx的函數影像描點畫圖
例30，sinx=5n+1，在x∈[0,2π]上有解，求n的取值範圍
思路：因為sinx在x∈[0,2π]之間正好是一個完整的周期，因此sinx大於等於-1或者sinx小於等於1，用fn+1替換sinx，建立不等式-1<=5n+1<=1，求出n的取值範圍
例31，座標軸上，y=2cosx （0<x<π）和y=3tanx相交A,B兩點，求OAB的面積大小？
思路，兩個函數影像相交，求出滿足相交的x值，然後代入y=2cosx影像，求出AB兩點，連線OAB，找出三角形的底邊與三角形的高，求得面積值
例32，繪制y=tan（x-π/4）在一個周期內的影像
思路：繪制tanx的影像，然後在x軸上將影像向右平移π/4
例33，繪制sin（2x+2*π/3）的影像
思路：5點作圖法
例34，
思路：
- 畫出常規sinα的影像
- 根據影像可知，令3x+π/5=α時，α在0，π，2π等kπ（k屬於整數）條件下，sinα的值可以取0，也就是零點，那麽需要判斷[0,π]之間有多少個kπ，則根據條件可以得
- 將x用k的未知數表現出來
- 因為x屬於[0,π]，因此可以列出不等式
- 因為k屬於整數，因此k只能取值1,2,3
- 即該函數的零點為3個
例35，
思路：
- 不等式中有絕對值，首先就把絕對值去掉，讓等式變得簡單。
x屬於2象限角，且角度在135度到180度之間，因此sinx>0,cosx<0,則tanx=sinx/cosx<0，
tanx+sinx=（1+cosx）sinx/cosx，因為1+cosx>0，而sinx/cosx<0,所以（1+cosx）sinx/cosx<0,
|tanx+sinx|= - (tanx+sinx)，則原式化簡為sinx-tanx-tanx-sinx-k= - 2tanx-k<=0即k>=-2tanx
- 只要求出-2tanx的最大值，就能求出k值。因為x的domain域為[3π/4，π]，tanx函數影像為單調遞增
-2tanx函數正好是反過來單調遞減的函數，因此3π/4處的函數值有最大值，即-2tanx=2，求得k>=2
例36，
如何將函數y1=2sin5x變換成y2=2sin（5x+3）？
思路：
1，5x+3=5（x+3/5）,左移+右移-
2，即將函數y1向左平移3/5，即可將y1變換成y2
例37，
將y=f(x)橫座標變為1/2，再向右平移π/3，得到解析式sin（x-π/4），求原f（x）
思路：
- 令原f（x）=sin（Ax+B），變換則依次為，sin（2Ax+B）,
sin（2A（x-π/3）+B）=sin（2Ax-2Aπ/3+B）=sin（x-π/4）
- 得方程式組2A=1，B-2Aπ/3=-π/4，解得A=1/2，B=π/12，則
原f（x）=sin（x/2+π/12）
例38，
思路：
例題39，
三角函數周期表
例40，找出定義域
思路：
1，畫出sinα的影像，將目標負數翻轉成正數，畫出相交線
2，找出正數相交點與負數相交點的關系
3，求出2個正數相交點x1，x2
4，求出定義域
例41，找出定義域
思路:
1，畫出cosα的影像
2，找到與y=-1/2相交的兩點x1，x2
3，求出α的範圍
4，求出x的取值範圍
例42，找出定義域
思路：
1，畫出tanx與cosx的影像
2，找出滿足2個條件的定義域
3，找出定義域的交集
例43，找出值域
思路：
1，先根據x的定義域，求出2x+π/3的定義域，令α=2x+π/3，求出cosα的值域
2，再求出1-cosα/2的值域
例44，找出值域
思路：
1，兩角和正弦公式拆開sin函數，再計算化簡成一個新的sin函數
2，根據x的定義域，求出化簡後sin函數的定義域
3，根據y的值域，判斷定義域的中最小值的取值範圍
4，計算得到w的值
