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試驗設計最速上升方向的計算原理

2024-01-22教育

在實際問題中,前進的步長太長了不一定能繼續保持增長,太短了前進步伐太慢,一般認為最好的長度是前進一步後恰好抵達原來設計的邊界。具體的尋求最速上升途徑的過程,可以從更細致的圖中看出。上圖就是二維情況下(兩個因子就是二維,三個因子就是三維)尋求最大值的過程。圖中,我們先在左下角以O為中心的矩形區域開始進行因子設計,獲得的響應變量的等值線見該區域上的那組平行直線(假定沒有失擬,彎曲也不嚴重),回歸方程式為u=a+b1x1+ b2x2,b1和b2是回歸系數,在以b1和b2為兩直角邊的直角三角形中,斜邊長度為

,而斜邊所指示方向就是最速上升方向(圖中的OC方向)。在此方向上截取一段,使之恰好達到原來試驗區域的邊界點(圖中的OA),則第一步前進到A,第二步沿此方向繼續前進到B,以下依此類推,繼續前進。這樣求出最速上升方向不僅對兩個自變量情況成立,一般到m個自變量依然成立。

需要註意的是,如果原來的自變量有範圍的限制,一直沿最速上升途徑前進並不一定是可行的,如果前進的途中已有某個自變量超出限制的情況,則應該令該自變量取相應邊界上的值,其余自變量仍按原來的最速上升方向繼續前進,直到響應變量的值出現下降為止。

在實際工作中,在求出A,B,…最速上升方向上的座標點後,要分別進行一次試驗以獲得響應變量的值。如果響應變量的值是比前一個點上升的,則繼續前進至下一個點;如果到某個點後,響應變量的值是比前一個點出現下降的,則證明在前一個點處已達到了此最速上升方向線上的最大值。再下一步應該是以這個最大點為中心,安排新一輪因子試驗,這時如果彎曲不顯著,證明離山的頂峰還差得遠(雖然響應變量值出現了下降,但還是沒能達到最佳區域),則應重復上述尋求新的最速上升路徑,尋求新的最大點;如果彎曲嚴重,則應該以此次因子試驗的結果為基礎,安排更多點進行試驗以形成一個響應曲面設計。求出響應變量的二次回歸方程式後,可以透過方程式解出在試驗區域內的最大值。 這就是由因子設計逐漸發展至響應曲面設計的一般途徑。

當然,如果重復上述尋求新的最速上升路徑,尋求新的最大點時,始終響應變量的值都是在降低,彎曲也不顯著,說明采用因子試驗擬合一個線性方程式(可以含交叉乘積項)就足夠了,無需采用響應曲面設計(無需增加自變量的平方項)。

上述計算還是比較復雜的,而且還要對原始自變量數據給出調整(比如求半間距D值或程式碼值與真值的轉換等),另外因為還要不斷判斷所選定的點是否超出允許的邊界範圍。為了計算方便,我們提供了宏指令,由回歸方程式直接求出最速上升方向,給出前進10步的相應各自變量的取值,這裏的處理辦法是:如果超界則以後皆取邊界點的值。當然,通常前進用不了10步,一般就會發現響應變量出現下降的情況,這時就不要再繼續前進了。如果真的到了前進10步仍然一直上升的話,那也應該在最後一點處安排一次因子試驗,以重新擬合線性方程式,因為前進多步後,回歸方程式常常會出現變化,以新的數據來計算新的最速上升路徑將會更準確些。

需求最速上升方向並安排試驗的方法稱為「最速上升法」,這部份內容如我們剛才所介紹的,必須另行計算,因此一般都認為最速上升法本身並不屬於響應曲面設計的內容。