我们已经把「做题」这件事做到了极致，不能再卷、也卷不动了。数学，除了做题以外，还有没有好方法？
「数学学习方法反思贴」。
针对小学数学起步阶段孩子们经常出错的三大学习点： 进位、乘法、面积，把中美两国数学教科书放在了一起，做了学习方法比较。
这里的发现，很有新意，也非常有实际意义。
大家好，我，刚从某思「退役」的数学老师。
这次，就从我最近遇到的具体问题开始说起吧。
「双减」后，好多机构把课程改成了线上和周中，因为时间不合适、或担心孩子视力，我的好多家长朋友都在选择在家「带娃自学」。
一旦自己带娃学，很难气定神闲。晚上十点，收到一位妈妈的微信： 我家娃是不是退化了，三年级了，学完乘除法了，怎么加减法错的还这么多！
各种1-3年级测验后，经常会收到爸爸妈妈的微信：「老师，你看，他前面错的题目都是计算错误！」
按照过往的机构套路，解决方法，就是： 做题、讲解、反复练习。
这次，我决心要换种思路去解决这个问题。这让我想起了在我书柜里「尘封已久」的那套书： 美国数学教科书 Go Math
我手头只有GK-G3（美国幼儿园到3年级的），包括幼儿园，每个年级上下两册。
这套书是一位学生家长移民离开中国前送给我的。当时，我是收的快递，打开之后震惊，这是什么，确定这是教科书吗，这么厚重！
和国内数学书的厚薄既视感，差异好大！
说实话，以前我对国外数学有些不屑，总感觉国外小朋友学的慢、学的容易，没我们的孩子基本功扎实。
但最近真正看过之后，我的感受可以用「如获至宝」来形容，它完全给我打开了新思路。
为什么？以下我用在课堂上遇到的三大孩子理解难点 （进位、乘法、面积） ，和大家分享我观察到的中美数学学习方法的不同。做了这次研究与比较，我有两大感受：
1、终于知道为什么自己教过的那么多孩子遇到数学学习困难了
2、终于知道以后该怎么带孩子解决一些比较根本的学习问题了
好，下面就来仔细说。想讲得清楚，所以用的例子比较多，篇幅也比较长。如果大家能耐心读完，给我反馈，我会十分感谢。
1
小学数学第一关:
理解「进位」
说到小学数学，肯定离不开计算，在计算中，就有第一个大难关： 有进退位的加减法。
肯定有很多爸爸妈妈在拿到小朋友的作业时，发现他们又莫名其妙的错了好多计算题。询问原因，娃是一笔糊涂账，我们也感到困惑：粗心？没有数学细胞 ？...
一、两道错题经典
下面先给大家看两道我经常遇到的小朋友「错题经典」，大家可以先猜猜他们是怎么错的。
这道题的错误原因，还容易看出端倪…
小朋友是怎么出错的呢？他们把个位数「4」直接和「23」中十位上的「2」加了起来，得到6，最后得出了63。
而这道，错成了一个「谜」 ... 这娃是怎么想的呢？
想不明白吧，我一开始也是，后来我在小朋友的草稿纸上发现了答案。当时令我印象太深刻了，草稿纸上是这样写的：
发现了吧，在用竖式做加法时，小朋友按照步骤先把个位数相加：7+5=12，算出来之后，就犯迷糊了，搞不清楚该向十位进1还是进2了……
孩子犯了上面这类错误，我们经常用 「粗心」 来解释，其实原因并非如此，现象背后，根本问题是孩子没搞清楚一些基本的数学概念：
1、「数位」概念不清晰，不理解「十位」和「个位」上数字所代表的含义。
4+23=63，为啥孩子会用4去加十位上的2呢，因为孩子不清楚，十位上的2代表的不是2，而是20，不清楚数位上数的意义，所以才不知道到底要和谁加。
2、加法进位不理解，不明白为什么需要进位。
27+35=71，个位相加得到的12，12的1其实代表的是1个10，所以才会放到十位去，2代表的是2个1，所以才会留在个位。
如果只像念口诀一样说出「写2进1」，而不理解为什么进位，那当然会掉进「不知道谁留下谁进位」的坑里。
很多时候情况下，我们会把孩子犯的这类计算问题误判为「粗心」，然后就选择一个简单粗暴的方法让孩子刻意练习——刷题！
但通过刷题让孩子记住的是做题的套路和方法，他们很可能还是搞不清楚为什么要这么做。
学数学，除了刷题之外，真的没有其他办法了吗？
当然不是。回答这个问题之前，我们先来看看中美教材在讲解「进位加法」上，方式方法有啥不同？
二、中国课本如何讲解「进位加法」
给大家先看看我们中国的 「人教版小学1年级数学教科书」 是怎么来展现「进位加法」这个知识点的：
说到进位加法，一定要先有一个基础知识：就是 数位的概念； 一年级课本就用这样的方式带小朋友认识「数位」概念。
我们大人看这样的图解，也得静下心来，理解一下。对孩子们来说，就是「挑战重重」了。
1、从视觉上来说，并非「一个图形精确对应一个概念」。
这张图包含的知识点和信息过多：计数棒、计数器、写法、读法，还有好几种颜色与图案。要在这样的一张图中去理解数位的概念，对一年级孩子来说，真是有点难。
2、文字解释并非足够「准确、简洁」，让孩子容易理解。
比如这句话 「从右边第一个是个位，第二个是十位……」 ，就不足够准确。
首先，这个图上有三个例子，这个「左右」指的是什么，小朋友一时就反应不过来，其次，通过数的位置来判断「十位」和「个位」，其实还是没有解释清楚数位的概念。
再接着看， 「有1个十在是十位上写1，有两个在十位上写2，有几个一在个位上写几」 ，这句话是不是有点绕口令？尤其第一个半句来说（ 「有1个十在是十位上写1 ），这里出现了两次「1」和「十」，但意义却不太一样。对孩子来说，理解起来真的挺有挑战性的。
3、数学课本「语文化」，强调 「怎么认、怎么写」，而不是「为什么」
小学低年级数学，对孩子语文程度（认字、对字词句的理解）要求不低，但对数学本身的概念演绎，却比较不够。
讲完数位，接着就是「进位加法」了，咱们的教科书的讲解非常直接： 直接开算！
来算算两个班一共有多少名学生吧！35+37=？
从小朋友的角度，这个插图，看起来可能比较费劲：图上并没有把两个班级的人数「画」出来：左边也是5个人，右边也是5个人啊！
大概是考虑到课本页面空间有限，画不下那么多人，于是用计数棒来体现算式。可是这些计数棒又堆在了一起，位置并没有分别跟前面插图中左位、右位两个班对应起来： 人物、算式是左右结构，而计数棒是上下结构 。
其实按照书的逻辑，也是能理解：引入计数棒，主要是为了解释竖式中的「进位」概念，因此直接用来跟竖式结构对应。
但这个是编书的逻辑，不是孩子认知的逻辑。
孩子学数学，是逐步从「具象」走向「抽象」的， 第一理解的是图与实物，如果图义分离，孩子就会「犯晕」。
再看课本是怎么解释「进位」的，比如算35+37，先加个位，「5」和「7」加起来是12，满了1个「十」，因此向前进1位。
不知道大家注意到没有， 这里还是在讲「怎么进位」，而不是「为什么进位」。
其实要理解为什么要进位，本质上还是要理解数位，其实就是要理解十进制——「满十进一」。
三、美国课本如何讲解「进位加法」
再看看美国课本 Go Math 怎么带孩子理解「满十进一」这个概念的。
1、从认识数开始就重点突出「10」的概念。
做法很巧妙、也很简单。美国从幼儿园孩子认识数开始，就是把代表「个数」的图形放在下图这种10个框组成的表格中，让孩子认识到「10」很重要，潜移默化地铺垫「10」的概念。
哪怕是学10以内的加法，也是放在10的框架里来学。比如，上图中学的是6+1=7，孩子可以清晰的发现，还差3就可以凑成一个「10」了。
在「认识11-20」的部分，也是用到了10个一组的表格，非常直观。
这类表格的反复应用，其实就是带孩子潜移默化地接受十进制的概念。
2、重视模型使用，模型简单易懂，表达精确、连贯统一。
美国数学课本做的特别好的一点就是，视觉统一，模型和数的对应非常清楚。而且一个模型，可以贯穿始终。
比如，用孩子常玩的「乐高」小积木，来强化10个为一组的概念。
之后，这个积木块会抽象成绿色小方块，但同样是10个一组。
在上图中，我们可以看到绿色的小方块有两种排列方式，一种是垒成一串的（10个），一种是单个小方块。
注意看图中单个方块的排列方式，其实还是在一个无形的十进制的表格里的。这依旧是在强化「10」的概念；而且跟小朋友表明，这些散落的方块，每凑成一个「10」，就可以摞成一串，跟其他的方块串放在一起（这其实就是在引入进位的概念）。
这时候用第一道题问孩子：图中有几个10，几个1，合起来是多少？
7 tens 9 ones =79
这样一来，79，「7」和「9」所代表的意义，不需要太多的文字解释，一下子就出来了是不是很直观。
接着再问第二个问题，单个方块和方块串的位置换了！会不会有小朋友把十位和个位写反呢？
其实这道练习，就是在跟小朋友强调：一个数的十位和个位到底是什么，并不是根据「左右」位置，而是根据这个数有几个「10」和几个「1」组成来决定的。
这就超越了「是什么」，而是在从根本上解释「为什么」。
3、从「具象」走向「抽象」的步骤很细致，为计算做了充分铺垫
数位的基础打牢了，开始进入让全世界无数小朋友抓耳挠腮的「进位加法」。
来算算25+48=？
通过前面的学习理解了「数位」，这时候孩子就可以得心应手地使用 「凑十大法」了。
从25借个「2」，给48凑个整，25+48=23+50，这样不就好算了吗？
加法竖式的概念也是这样一步步引入的：
比如：37+25=？
我们可以看到，教材在直接写竖式之前，先把方块模型摆成了竖式的样子。
计算：37+25，分成了三步：
第一步，将散落的单个方块进行「凑十」（个位数相加）
第二步，把凑成一串的方块，和其他方块串放在一起（进位）
最后，数出有多少个方块串，多少单个方块……
这样就通过模型进行了一次非常具象的竖式加法的演算。
接着，进一步从具象走向抽象，把方块串（10），抽象成一个「竖线」，把方块抽象成圆圈…
这样做的目的是为了让孩子一步步过渡到 直接用抽象的数字符号进行计算 。
比如，为了让孩子理解十位上的「1」，是指1个「10」，我们可以看到教材循序渐进地从 「方块串」 到 「竖线」 再到 「1」 ，完成了整个从具象到抽象的过程。
之后，算百以内加法，就顺理成章了。
比如，47+85，先个位相加：7+5=12，凑出1个10；再算有多少个10位数，4+8+1=13；13个10，又可以凑成1个百，这样就是100+30+2=132
这个过程，让孩子学会了加法，知其然，而且知其所以然。概念清晰、理解深刻，「貌似粗心、实则不懂」的错题便可以减少很多。
2
小学数学第二关:
理解「乘」
让孩子理解「乘」的概念，其实完全不是我们大人想象的那么简单。
1、一言难尽的「乘法口诀表」
先来说说我们的独有发明——乘法口诀表。
这个绝对是一个充满智慧的创造，相信绝大部分小朋友学习乘法，都是从这张口诀表开始的。
这张神奇的口诀表，大大提升了我们中国小朋友计算乘法的速度。
很多小朋友在不知道乘法是什么的时候，嘴里已经会背好多的乘法口诀了。
乘法口诀还和口语、故事连在了一起，也许又是「数学语文化「的一个体现。比如」 不管三七二十一「 ，比如孙悟空去西天取经要历经」 九九八十一难「 。
但是乘法口诀真的这么好背吗？
之前微博热搜上有个视频，小姑娘怎么也不会背3x5。可怜可爱又心疼，大家肯定在想，为啥这么简单的一句「3×5=15」，小姑娘就是背不下来呢？
其实，对这个小朋友来说，这根本不是一个乘法计算题，也不是一个数学问题，而是一个记忆与背诵问题。
此时她完全不理解「乘」，因此在她脑海里乘法口诀表里的数字就是一串没有规律的乱码，和下面这张图没有区别。
数学靠「背」，有用吗？
我相信大家一定有自己的答案。数学不是算数，计算也不可能只靠记忆。
背乘法口诀，可以让计算乘法的速度变快。中国小朋友的乘法计算速度一定是最快的，但是这里有一个大问题 -- 对乘法的意义不见得真正理解 。
下图是一个孩子的错题，显然没搞清楚「乘、除」概念。看来他并没有理解「乘」，而不理解「乘」，就不会理解「除」；就像不理解「加」，就不会理解「减」一样。数学真是一门环环相扣、漏一步错百步的学科。
相比之下，美国的小朋友不可能背出「one one equal one」这样的口诀，所以他们只能慢悠悠地去了解乘法。中国二年级上学期就开始表内乘法了，美国三年级才开始。
2、对「乘」的概念引入，比较简单
先来看看中国人教版的数学书是怎么去引入乘法的吧！
可以看到，上面三个对加法总结的例子里，都用了「几个几」的说法。
但画风很快一转，马上写出结论：2x7读作2乘7（而不是2个7，或7个2）。「乘」虽然出现了，但它只作为一种「读法」，其意义没有进一步解释。
不仅如此，这个地方还立刻引入了交换的概念，2x7=14，7x2=14。你是小朋友的话，你会不会晕？
3、美国孩子是怎么学「乘」的？
乘 这个字对于全世界的小朋友来说，其实都是不容易理解的。
（1）用「组 groups of 」 的概念，说明「乘」
「4乘2」，严格上来说是4x2这个 算式的读法。
4组「2」，意思是，「2个」为一组，一共4组，表达的是乘法的含义。
别看在语言用词上只是小小的一个改变，但它却可以立刻让孩子感受到乘法的内涵。就是这么神奇!
中国的「4个2」也有「4组2」的意思，但远远不够具象，没有大量借助 模型加深孩子理解。
相比之下，当数字变大、计算变复杂时，美国教材的这种简捷模型，表现力就比较强。孩子看到4*3，眼前出现这样「4组3」的场景 ...
这比数插图中的小人要灵活、清晰的多。
（2）用加法，帮孩子理解「乘法的含义」
孩子学乘法之前，已经对加法很熟悉了。所以，教乘法，还是从加法做起。
这个过程，中国也走，但走得很快，而且视觉化、模型化做得不够细致。
这是美国做法。通过图像模型的方式，先引导孩子们算3+3+3+3（3为一组，一共4组）
然后再引导小朋友去探索「Another Way」，另一种算法也就是乘法：3+3+3+3=4x3
这时乘法和加法的关系就通过图像建立起来了。
这样做，在小朋友的脑子里，乘法就不再是一个抽象的概念，而是从一组组相同数量的图形，到一串相等数字的加法，最后变成一个乘法算式。
（3）用模型，解释「乘法交换律」
在乘法中，有一个非常重要的知识点，交换两个因数（factors）的位置，最终的乘积是不变的。但如果只用这样的一句话，或者简单的图示解释，这个肯定很难让小朋友清楚。
中国数学书，画了三组小熊气球，然后就写了3×5=15和5×3=15。然而，小朋友在这幅图中完全不能感受出「5组3个」这样的概念，这种讲解不太到位。
而美国数学用的「矩阵式」模型，就容易理解的多。
下面这张图，2行5列，可以横着数，那就是2组5，也可以竖着数，就是5组2；但不管是横着还是竖着，都是这10个，非常清晰地表示出了2×5=5×2这个概念。
举一反三，脑子里有这样的图，就非常容易理解乘法交换律了。
如果这个小姑娘的父母当时知道可以这么带娃理解乘法，孩子会少掉多少痛苦。
3
小学数学第三关：
理解「面积」
最后，再简单说说「面积」问题。
在小学阶段，有一个非常抽象的概念--平面图形的面积；这也是老把孩子们绊倒的一个「坎儿」。
小朋友最容易出现的一个问题是， 周长和面积傻傻分不清楚 ，求周长求成面积…… 其实刚刚学习周长的时候，小朋友对周长是特别清楚的，因为周长可以测量出来，有一个具体的数帮助理解。但是面积的概念就抽象多了，什么是面积，怎么计算面积都是很难解释的。
那中国课本是怎么带小朋友理解「面积」的呢？
「黑板表面的大小就是黑板面的面积，课桌表面的大小就是课桌面的面积，数学书封面的大小就是数学书封面的面积」
我们先不提这几句话有多么拗口，但从逻辑方面来说，首先，面积的定义是不是就是「大小」，这两个概念等同么？
其次，用生活中具体事物（都是立体的）来讲面积，也不够严谨。比如，书桌表面包括很多部分啊，不止有桌面，桌腿也有表面，从 立体图形抽象出一个平面的概念，孩子理解是有困难的。
课本进一步定义：
「物体表面或封闭图形的大小，就是它们的面积。」
这种语言形式，作为数学概念定义，也是不太符合要求的。
而美国课本，从下面的这几个步骤带孩子理解探究什么是面积。
首先，引入面积中非常重要的一个概念图形— 单位正方形 （边长为1的正方形）。
再用 Grid Paper （格子纸）来度量各种平面图形的面积，把「面积」这个抽象概念变成看得见摸得着的 "单位正方形格子的集合" 。
面积一旦这样在脑海里呈现，对于熟悉乘法的孩子来说，下面的」面积计算「就很容易了。
计算长方形的面积，可以简单一个个数格子加：1+1+1 ... = 15
也可以按组加，5+5+5=15
然后，抽象到用乘法算出来，3*5=15
通过这个过程，把抽象的「面积」概念变为可以数出来的图形，面积再也不是看不见摸不着的东西啦！小朋友不光理解，而且能通过各种方式算出来呢！
回到最初的问题，在家如何带娃学数学。其实，家长不是老师，也没时间、没必要做老师。当前情况下，能让孩子跟着一些资源循序渐进自我加强，也许更加可行。我的个人感受是：
在家带孩子做数学启蒙，与其自己甩开袖子去教、或者让孩子做题，不如挑一些美国数学教材、练习册（国内有不少中文引进版），让孩子自己动手，跟着书一点点走，一步步建立数学概念认知，为以后的数学学习打下坚实基础。
希望我的分析，能给大家带来帮助，更欢迎大家多提意见，我们一起进步。谢谢。
原创 晓晨
