深入理解函数——2024年湖北省中考模拟数学第24题
作为2024年湖北省中考模拟数学卷（非武汉地区）的终极BOSS，本题最后一问的设置很巧妙，事实上它是一个新函数，即要求学生用函数的观念去理解这一问涉及到的变量，前面两个小问一如既往比较简单。
函数综合题的考查对命题的确是极高的要求，我们在教学中经常说函数课要有函数味道，而不能把函数教学局限于复杂的代数恒等变换，看上去参数众多，实际上就是「死算」；全国各地中考题对函数综合的命题，越来越多地开始检验学生对概念的深层理解，包括新定义题型，在个人看来，本题适当改编，也不失为新定义的优秀素材，那究竟要如何体现函数味道，我们一起来看本题。
题目
在平面直角坐标系中，抛物线y=-x²+bx+c（b，c是常数）与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C，P为x轴上方抛物线上的动点（不与点C重合），设点P的横坐标为m.
(1)直接写出b，c的值；
(2)如图，直线l是抛物线的对称轴，当点P在直线l的右侧时，连接PA，过点P作PD⊥PA，交直线l于点D，若PA=PD，求m的值；
(3)过点P作x轴的平行线与直线BC交于点Q，线段PQ的长记为d.
①求d关于m的函数解析式；
②根据d的不同取值，试探索点P的个数情况.
解析：
(1)由条件可知该二次函数二次项系数为-1，直接由交点式写出y=-(x+1)(x-3)=-x²+2x+3，即b=2，c=3；
(2)PD⊥PA且PA=PD，所以构造「一线三直角」模型即可解决各点坐标的关联问题，如下图：
显然图中△APF≌△PDE，先写出点P坐标为(m,-m²+2m+3)，然后表示出PF=-m²+2m+3，DE=m-1，于是由PF=DE列方程为-m²+2m+3=m-1，解得m=(1+√17)/2；
(3)本题一定要认真作图，一定要认真观察图形的变化，按要求在备用图中作x轴的平行线，可以发现这条平行线随点P位置不同，交点Q的位置也随之变化，如下图：
在草图中，我们需要思考以下几个问题：
第一，过点P且平行于x轴的直线，与抛物线的交点情况；
第二，这条平行线与抛物线的哪个交点可记为点P？
第三，PQ的长度d如何用含m的代数式表示？
①抛物线的顶点为(1,4)，当点P位于此处时，d=2，这是特殊位置；然后我们求出直线BC的解析式为y=-x+3，从而可表示出点Q坐标为(m²-2m，-m²+2m+3)，为后面表示出d作准备；
当点P在第一象限时，此时点Q在点P左侧，d=m-(m²-2m)=-m²+3m；
当点P在第二象限时，此时点Q在点P右侧，d=(m²-2m)-m=m²-3m；
综上可得d=-m²+3m(0<m<3)或d=m²-3m(-1<m<0)；
②在前面对点P位置的讨论过，我们简单地用点P所在象限分类，其实还是有逻辑上的「漏洞」，即前面所说第二个问题，哪个交点可记为点P？
除了点P在抛物线顶点处时，这条平行线与抛物线均有两个交点，即点P有两处，如下图：
那前面的讨论中为何不分两处来写解析式呢？
因为无论上图中的点P或点P'，其坐标都是同一种，都用参数m表示，而m本身的取值，有两个结果，从解析式角度来看，并无问题；
但轮到讨论点P个数时，问题就来了，图中很明显，当d的取值不同，满足条件的点P不止一处，所以我们需要重新用变量的观念去理解问题。
当点P在第一象限时，d=-m²+3m=-(m-3/2)²+9/4，说明在这个范围内，d是有最大值9/4的，如下图：
当m=3/2时，PQ长度最大，我们过点P作BC的垂线段PG，此时PG长度也最长，即点P到直线BC的距离最长；由于△BOC是一个等腰直角三角形，很容易证明△PQG也是等腰直角三角形，因此我们建立了PQ与PG间的关联，即d=√2PG，当点P在第一象限时，PG的长度变化趋势是：点P从B运动到点C，PG先变长，到图中PG位置时最长，然后又变短，到达点C时，d=0；
现在我们将这种探讨方式推广，当点P在第二象限的时候，我们发现PG的长度变化趋势是：点P从点C运动到点A，PG先变长，当PG长度超过前面的「最大长度」后，还在继续变大，直到到达点A，此时d=4，如下图：
于是根据前面的探索，我们成功将问题转化为点P到直线BC的距离，与点P个数间的关系，现在理解起来就容易多了；
总体上d的范围是0<d<4，其中特殊值为d=9/4，推导如下：
为帮助理解，我们过点P作直线BC的平行线，请注意在两侧各有一条平行线，即直线m和直线n，仍然先看特殊情况，当PG=9√2/8时，d=9/4，满足条件的点P有两个，如下图：
当0<PG<9√2/8时，满足条件的点P有三个，如下图：
当9√2/8<PG<2√2时，满足条件的点P只有一个，如下图：
解题反思：
从最难想的第三问看，如何寻找d与点P个数间的关系，很多学生没能找到门路，因为d的值并不是和点P位置一一对应，如果本题根据点P位置去求d的值，这个难度一下子就降低了，所以说这道题的命题很智慧。
当然，解这道题之后，作为老师，接下来就是思考如何讲给学生懂，如果把自已的思维过程以清晰的脉络呈现出来，学生才有可能理解清楚，所以在思考解法讲授的时候，多画了几组图，事实上在解题过程中，并没有绘制这么多图示。
d值与线段PQ长度有关，虽然PQ看上去很「直」，但最终不如转化成PG长度直观，显然PG看上去是「斜」，这也可以看作是化斜为直的反套路，经此一役，学生应该明白，数学中的「斜」或「直」，永远是相对的，不可拘泥。
一旦问题转化成点P到直线BC的距离与点P个数的关系，则问题又变成了「老熟人」，这是典型的化归思想。
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