正交矩陣的作用主要體現在以下幾個方面：
正交變換
幾何變換：正交矩陣可以用於表示旋轉和映像操作。在二維中，一個矩陣是正交矩陣若且唯若它表示一個繞原點的旋轉或映像。在三維及以上，每個正交矩陣可以唯一地表示為一系列繞某個軸的旋轉矩陣的乘積。因此，正交矩陣能夠簡潔地表示各種幾何變換。
座標變換：正交矩陣的逆矩陣等於其轉置矩陣，這個性質在座標變換中非常有用。例如，如果一個向量經過旋轉後變成了另一個向量，那麽可以用正交矩陣來表示這個旋轉。為了將旋轉後的向量轉換回原向量，可以使用正交矩陣的逆矩陣，即其轉置矩陣。這使得在不同座標系之間進行轉換變得容易。
機器學習：正交矩陣在機器學習中也有廣泛的套用。例如，在主成分分析（PCA）中，需要將原始數據投影到一組新的正交基向量上，以降低數據的維度。正交矩陣可以用於計算這些新的基向量，並保證它們之間的正交性和單位長度。此外，在摺積神經網路（CNN）中，摺積層通常使用正交權重矩陣來提取影像特征，以獲得更好的分類效能。
訊號處理：正交矩陣在訊號處理中也常常用於訊號的壓縮和降維。
統計學和機率論：在多元統計分析中，正交矩陣可以用於變量旋轉，以幫助理解不同變量之間的關系。在正交設計中，正交矩陣可以用於構造實驗設計矩陣，以便在最小化幹擾因素的同時，最大化所研究因素的效應。
綜上所述，正交矩陣在幾何、座標變換、機器學習、訊號處理以及統計學和機率論等領域都有著重要的套用。
