編譯 ｜ 文樂樂
數學家發現了一種新的形狀。從如麗螺標誌性的螺旋殼腔室，到種子長成植物的方式，這種形狀在自然界中很常見。相關論文近日發表於PNAS Nexus。
這項工作考慮了「密鋪」這一數學概念，即形狀如何在表面上鑲嵌。自古以來，用相同的圖形填充一個平面的問題得到了充分探索，以至於人們很容易地認為已經沒有什麽可發現的了。但是，研究人員用一組具有圓角的新幾何圖形推匯出了密鋪原理，並將其稱為「軟單元格」。
「以前沒有人這樣做過。」未參與這項工作的美國國家數學博物館數學家Chaim Goodman-Strauss說，「有這麽多基本的事情需要考慮，真是令人驚訝。」
幾千年來，人們已經知道，只有某些型別的多邊形瓷磚，如正方形或六邊形，可以拼接在一起，無縫填充二維空間。自20世紀80年代發現名為準晶體的非周期性結構以來，填充空間而無須規則重復排列的密鋪，如潘洛斯密鋪，逐漸引起了人們的興趣。去年，Goodman-Strauss和同事宣布發現了第一個只使用單一瓷磚形狀的準周期密鋪，它沒有任何真正的周期性。
在新的研究中，匈牙利布達佩斯技術與經濟大學數學家Gábor Domokos和同事重新研究了周期性多邊形密鋪，並考慮了當一些角變圓時會發生什麽。在二維空間中，並非所有的角都可以圓潤而不留下縫隙。但當一些角變為「尖形」時，填充空間的密鋪就成為可能。這些角的內角為零——其邊緣像淚滴一樣切線相交，並緊貼著圓角。
Domokos和同事設計了一種演算法，可以將幾何瓷磚——二維多邊形或三維多面體，如泡沫的氣泡，平滑地轉換為「軟單元格」，並探索了在這些規則下可能的形狀範圍。結果顯示，在二維中，選擇相當有限，所有圖形必須至少有兩個尖點狀角。但在三維中，柔軟度的引入會帶來一些驚喜，特別是這些「軟單元格」可以在完全沒有任何角的情況下填充體積空間。
Domokos認為，對於任何給定的初始多面體密鋪，都有一種獨特的密鋪具有最大可能的柔軟度。他還懷疑，在真實材料中，這個最優解將使某些物理量最大化，例如邊緣彎曲能或界面張力等。他承認研究團隊目前還沒有證據證明這個最大柔軟度的猜想，但希望「某個更聰明的人會發現並證明它」。
研究人員在自然界中也發現了「軟單元格」，包括辮狀河流中島嶼的二維形狀、洋蔥同心層的橫截面和組織中的生物細胞，以及如麗螺等軟體動物螺旋殼的三維結構。他們認為，大自然通常會力求避免拐角，因為這類扭曲的變形能量成本很高，並可能是結構弱點的來源。
Domokos說，研究如麗螺「是這項工作的轉折點」。在橫截面上，其腔室看起來像有兩個角的二維「軟單元格」。但論文共同作者、布達佩斯技術與經濟大學的Krisztina Regos懷疑實際的三維腔室根本沒有角。「這聽起來令人難以置信。」Domokos說，「但後來我們發現她是對的。」
Goodman-Strauss認為，這項工作提供了一種「結構的描述性語言」，但可能尚未揭示自然界形成此類結構的新的物理原理。比如，要理解河岸，可能仍然需要從基本原理出發考慮最初的物理過程，比如水流、泥沙輸送和侵蝕的作用等。
相關論文資訊：
https://doi.org/10.1093/pnasnexus/pgae311
