「 鋪砌 」是數學領域的一個已得到充分探索的概念。長期以來，數學家們一直在研究什麽樣的幾何形狀可以透過組合而無縫隙地鋪滿表面。解決這類問題的典型思路，是使用具有 拐角 的平面形狀。然而，這樣的形狀在自然界中並不常見。
現在，在一項於近期發表在PNAS Nexus上的研究中，來自布達佩斯技術與科技大學和牛津大學的數學家發現了一類新的形狀， 可以在沒有任何拐角的情況下鋪砌空間 。他們將這類由圓角構成的新幾何形狀稱為「 軟細胞 」（soft cell） 。更神奇的是， 這些柔軟的形狀在自然界隨處可見 。
將拐角變成圓角
鋪砌可分為 周期性 和 非周期性 鋪砌。例如，三角形、正方形、六邊形，可以周期性地鋪砌二維空間，再比如立方體可以周期性地鋪砌三維空間。
三角形、正方形、六邊形可以周期性地鋪砌平面。（圖/原理）
相比之下，尋找非周期性鋪砌的例子要難得多，因為它要求由這些形狀構成的整體圖案，無法透過平移或旋轉來恢復。潘洛斯鋪砌就是一個著名的非周期性鋪砌範例。
由兩種菱形組成的潘洛斯鋪砌。（圖/Wikipedia）
在新的研究中， Gábor Domokos 及其同事考慮了的是「簡單」的周期性鋪砌。但特別的是，他們探討了有著「 圓角 」的幾何形狀的鋪砌問題。
新研究將一類新的可以無縫隙鋪砌空間的形狀命名為軟細胞。第一行顯示了等效於常規三角形的軟鋪砌，第二行顯示了等效於長方形的軟鋪砌，第三行顯示了等效於六邊形的軟鋪砌。（圖/Domokos et. al. / PNAS Nexus）
在二維空間中，當讓一些傳統的鋪砌系統 （比如三角形、長方形、六邊形、立方體） 的邊彎曲，拐角變「圓」時，這些被「軟化」過的形狀就無法再以不留縫隙的形式鋪砌空間了。但是， 當讓一些拐角變「尖」時 ，就又可以做到無縫隙鋪砌了。
在這個過程中，研究人員盡可能地最小化「尖角」的數量。透過這樣做，他們創造出了一類具有不同鋪砌特性的新數學形狀，並將這些擁有最小數量的拐角、能無縫隙鋪砌空間的幾何形狀命名為「 軟細胞 」。
軟細胞擁有最小數量的尖角，並且能沒有縫隙地鋪砌空間。在自然界和建築中都存在有著兩個尖角的軟細胞的例子。第1列顯示的是幾何軟細胞範例，第2、3列顯示的是自然界的軟細胞範例，第4列顯示的是建築師紮哈·哈迪德的建築設計。（圖/Wikimedia Commons, Google Earth, Krisztina Regős.）
他們發現， 在二維空間裏，所有的軟細胞都必須至少有兩個「尖角」 。在肌細胞、斑馬條紋、河流島嶼的形狀、洋蔥鱗莖的層，甚至在建築設計中，都能找到這樣的鋪砌模式。
在三維空間中，軟細胞變得更加復雜和有趣—— 它們可以完全沒有尖角，卻能無縫隙地鋪砌整個空間 ，如麗螺的殼腔就是一個很好的例子：從如麗螺的橫截面來看，其殼室看起來像是有著兩個尖角的二維軟細胞，但其實際的三維腔室根本沒有任何拐角。
如麗螺腔室的幾何形狀。（圖/Domokos et. al. / PNAS Nexus）
開啟新的問題
其實，當一些建築師想要避免拐角時，他們會憑直覺創造出這些形狀，比如著名的建築師包括 紮哈·哈迪德 就經常這樣做。
新的發現開啟了幾何學和生物學的一系列問題。目前，研究人員尚不清楚大自然是如何利用這些「柔軟」的形狀來實作幾何復雜性的。但他們推測，自然界之所以通常會避免拐角，可能 是因為這些扭折在形變能上的成本很高，並有可能是結構性劣勢的來源 。
參考來源：
https://www.ox.ac.uk/news/2024-09-12-mathematicians-discover-new-universal- class-shapes-explain-complex-biological-forms
https://www.nature.com/articles/d41586-024-03099-6
https://www.eurekalert.org/news-releases/1057227
https://academic.oup.com/pnasnexus/article/3/9/pgae311/7754698?login=true
封面圖&首圖：Content Pixie / Unsplash
