等分圓周問題是個古老的問題,從古希臘就開始研究。當然用現代工具可以任意等分圓周,但用尺規作圖就不一定了。
那麽如果要n等分圓周,這個自然數n要滿足什麽要求呢。先從簡單開始,當n=2時,就是平分圓周,這個非常簡單,如下圖,以圓上任意兩點為圓心,固定長度為半徑,只要兩圓相交即可,過兩圓交點作
2等分圓周
直線與被等分的圓相交,直線過圓心,將圓等分為兩份。
當n=3時,就是3等分圓周,在原來2等分圓周的基礎上,先找到直徑的中點,即圓心,以直徑與圓的交點為圓心,圓的半徑為半徑作圓,與被等分圓的兩個交點和直徑與圓的另一個交點構成圓的3等分點。
3等分圓
高斯對這個問題進行了研究,指出如果n是形如2^(2^m)+1的質數,那麽圓周可以被n等分,這不就是費馬數嗎。我們知道費馬數不一定是質數,當m=0時,n=3,可以3等分圓周。當m=1時,n=5,可以將將圓周5等分,如下圖。
5等分圓周
當m=2時,n=17,眾所周知高斯找到了將圓周17等分的方法。
當m=3時,n=257,德國數學家裏時洛給出了257等分圓圓周的具體方法。
當m=4時,n=65537,將圓周65537等分的方法也是一個德國數學家叫赫爾梅斯的給出的。
如果是合數呢。據研究,如果n是兩個或兩個以上費馬質數的積,那麽一圓周也可以被n等分。比如n=3x17=51。
最後如果圓周可以被n等分,自然也可以被(2^m)n等分。