【數學的邏輯】，[英]鄭樂雋 著，崔凱 譯，中信出版集團2024年3月版。
數學的「規則」來自哪裏
為什麽1+1=2？
對於這個問題，一個可能的回答是：「因為它就是這樣！」它所隱含的意思是：「因為我就是這麽說的！」這是一個讓一代又一代孩子無比沮喪的回答。「因為我就是這麽說的」意味著有那麽一個高高在上的權威人物在制定規則，他可以隨心所欲地使用他的權威而不需要解釋任何理由，其他人必須臣服於這些規則。
由此產生沮喪感其實並不奇怪。實際上，數學所包含的一股強大沖動就是要打破所有的規則，找出這些規則不適用的陰暗場景，以表明所謂的權威人物其實並不像他們想象的那麽有權威。
數學似乎是一個你不得不去遵守的規則世界，難怪它會給人僵化、枯燥之感。相比之下，我對數學的熱愛源於我對打破規則的熱愛，或者至少是對推動規則改變的熱愛。這種行為經常讓我產生一種羞怯感，因為我就像個永遠都長不大的少年。我對數學的熱愛還因為我總是對所有的事情問一個「為什麽」，這更讓我覺得自己就像個長不大的孩子。然而，恰恰是這兩股沖動推動了人類認知的不斷進步，尤其是對數學的理解，它們可以說是數學重要的起源。這一章我們就來談談這個問題。
我想強調一點，在日常生活中我是個奉公守法的人，因為我明白規則代表著群體的凝聚力，是社會安全的重要保障。我相信這些規則，也不介意遵守那些有明確目的性的規則。然而我不相信那些武斷專橫的規則，它們往往沒有正當理由，或者我不相信它們所謂的正當理由。比如，「你必須每天整理好自己的床鋪」（我實在不喜歡做這件事），或者「絕對不要用微波爐融化巧克力」（這的確容易把事情搞糟，但只要你每隔15秒鐘攪拌一次，我發現它是沒有問題的）。
電影【博士的愛情方程式式】（2006）劇照。
所以，我想去探究數學那些顯而易見的「規則」來自哪裏，以及數學這個概念來自哪裏。我會嘗試描述，它如何從一粒種子以自然的過程成長為參天大樹。所謂種子，就是我們每個人，尤其是孩子，經常會提出的那些幼稚的問題，比如為什麽「1+1=2」，而且不會在知道答案之後心滿意足地離開。就像任何植物的種子一樣，它們也需要以正確的方式去培養，需要肥沃的土壤、足夠的空間來伸展它們龐大的根系，當然還需要營養。不幸的是，我們這些幼稚的問題往往沒有以這種方式得到足夠的滋養，而是被貼上「愚蠢」的標簽丟在一旁。在數學研究中，深刻與幼稚問題之間的差別或許就在於不同的滋養方式，也就是說，它們本無差別，都是同樣的種子。
不喜歡數學的人經常被那些明顯帶有專橫意味的結論困擾，即宣稱什麽東西就是正確答案，而沒有任何解釋：「1+1就是等於2！」然而，探究某些結論背後的原因讓我們有機會構建起數學強大的基礎，使其具有清晰的脈絡和縝密的論證過程。有些人覺得清晰性和可靠性令人心神愉悅，其他人則感覺到一種約束感和強迫感。但是類似於「為什麽1+1=2」的問題讓我們有機會發現，數學其實並沒有明確的正確答案，而是在不同的背景下，不同的事情可能是真的。這將引導我們探索數位最初從何而來，算術概念的起源，以及我們如何把這些概念套用到其他數學問題，比如圖形問題上。它涉及數學發展過程中很多重要的主題，從建立事物之間的聯系開始，認真對待抽象的概念，然後一點一點擴充套件我們的思維過程，已涵蓋我們周圍更多的世界。
與其思考「為什麽1+1=2」，我們還不如先深入一步，思考一下這個等式是否在所有條件下都成立。
數學探討的是場景背後的意義
兒童的天性似乎就是喜歡尋找反例。所謂反例，就是證明某件事不正確的真實案例。宣稱某事永遠正確就像為其構築了一道高墻，而尋找與之矛盾的例子就像為推倒這道高墻而付出的努力。這是一種重要的數學學科發展動力。
要想了解孩子們對1+1這個概念的認知，你可以嘗試詢問：「如果我給你一塊蛋糕，再給你一塊蛋糕，那麽現在你有幾塊蛋糕？」但他們有可能會興高采烈地說：「一塊都沒有，因為我把它們都吃掉了。」也有可能會說：「一塊都沒有，因為我不喜歡蛋糕。」
父母們在互聯網上貼出的無忌童言，總讓我覺得興味盎然。我最喜歡的一段對話是，當被問「喬有7個蘋果，他用其中的5個蘋果做了一個蘋果派，他還剩下幾個蘋果」時，我朋友的孩子說：「他已經把蘋果派吃掉了嗎？」我喜歡那些在道理上正確的答案，而不是那些被公認為正確的答案。這是數學非常重要的一個層面，兒童的思維過程往往會揭露一些極為重要卻經常被忽視的數學天性，也就是挑戰不公正權威的天性。
高斯日記原件。紀錄片【數學的故事】（2008）劇照。
孩子們挑戰權威，或許是因為他們有意探索某些事物的邊界，也可能是因為他們想尋找一種自我意識，畢竟這個世界沒有留給他們太多的話語權。我清晰地記得在小時候，遵照大人們的指示做事是多麽令人沮喪。而對某個成年人提出的具有引導性的問題，最有趣的回應方式是將問題的前提一舉推翻，比如我會說我根本不喜歡蛋糕。
從某種程度上說，這樣的回答有點兒惡作劇和破壞性的味道，但我覺得這也算是一種數學的動力。的確，數學或許就是某種惡作劇和破壞性的行為。換一種方式來說，數學就是在探尋事物的邊界，就和孩子們的行為一樣。我們想要搞清楚令某些事物為真的具體邊界，這樣我們就可以確定何時處於「安全」區域，然後在好奇心和勇氣的驅使之下去探索更廣闊的外部世界。這就像一個蹣跚學步的孩子有意跑遠，想看看自己究竟跑到哪裏才能讓大人來追他們。思考1+1不等於2的成立條件就是一個絕佳的例子。
如果我說「我不是不累」，那就是說「我的確很累」。於是有的孩子發明了一個有趣的遊戲，說「我不是不是不是不是不是不是不是不是不是不是不累」，進而變得有些歇斯底裏，因為他們知道誰也記不住他們究竟說了幾次「不是」。這讓我想起了一道令人發狂的數學題，那是一個冗長、煩瑣的計算過程，學生們很容易在負號上犯錯。批改作業的痛苦之處在於，如果學生犯了2次錯誤，或者更糟糕犯了4次錯誤，他們的答案將是正確的。但是在數學的世界裏，答案正確不是唯一的標準，過程也必須正確（下一章我會討論這個問題），所以我不得不仔細檢視每一個計算過程。
另一個讓1+1=0的場景，就是所有的一切都已經是零。就像我小時候的那些糖果：我天生對人工色素過敏，而當時所有的糖果都含有人工色素，所以不管有多少糖果，對我來說都等於零。
有時候，四舍五入的誤差也會導致1+1大於2。如果我們只討論整數，那麽1.4被視為1（最接近的整數），兩個1.4就是2.8，應被視為3（最接近的整數）。所以在四舍五入的世界裏，1+1有可能等於3。一個與此相似但稍有不同的情形是，如果你手裏的錢只夠買一杯咖啡，你的朋友也只帶了夠買一杯咖啡的錢，但把你們倆的錢合起來，或授權以買到第三杯咖啡，因為如果你們每個人手裏的錢是一杯咖啡價格的1.5倍甚至1.9倍，你們就足夠買3杯咖啡了。
有時候1+1大於2與繁殖有關。比如，你把一只公兔子與一只母兔子放在一起，之後你很有可能得到一大群兔子。還有可能是你把相對復雜的事物加在了一起，如果一對網球運動員與另一對網球運動員對壘，那麽不同的排列組合會出現兩對以上的網球運動員。如果第一對是A和B，第二對是C和D，我們就會有以下幾種組合：AB、AC、AD、BC、BD、CD。所以一對網球運動員加另一對網球運動員就等於6對網球運動員。
有時候1+1=1：你把一堆沙子放在另一堆沙子上，結果還是一堆沙子。或者，就像我的一位藝術系學生指出的那樣，如果把一種顏料與另一種顏料混合在一起，你只能得到一種顏色。或者，我曾經看到一個有趣的網路視訊，如果你把一塊義大利千層面放在另一塊上面，它還是一塊義大利千層面（只不過高一些）。
紀錄片【解碼數學】（2011）劇照。
一個稍有不同的1+1=1的場景是，如果你有一張優惠券，買一杯咖啡可以免費得到一個甜甜圈，但每人僅限使用一張優惠券，那麽即使有兩張優惠券，你也只能得到一個甜甜圈（除非你把它送給別人）。或者你在火車上按下「開門」鍵，不管按多少次，效果都與按一次相同。至少它對列車開門的效果是一樣的，但就你可以表達沮喪心情的程度而言可能有所不同，也許這就是為什麽總有人站在那裏不停地按。
現在，你或許覺得以上情形根本不是1+1不等於2的真正原因，因為它們都不是真正意義上的「相加」，或者相加的不是真正的數位，還可能是其他一些牽強附會的原因。你當然可以這樣想，但這並非數學的本質。而數學探討的就是這些場景背後的意義。我們來看看事情按這種趨勢發展的後果是什麽，還有哪些與此類似的情況。讓我們更清楚地了解1+1等於2以及不等於2的條件，這樣我們就能比以前更深入地了解這個世界。
這就是數學的起源。為了探索1+1等於或不等於2的情形，我不希望僅僅去挖掘這個等式的起源，也想一路探究數學的起源。
數學源於人們想要更好地理解事物
數學源於人們想要更好地理解事物。為了更好地理解事物，我們會找到一種更容易的思考方式。一種方法是忽略困難的部份，但更好的方法是秉持這樣一種觀點，即讓我們專註於與我們當前相關的部份，同時不要完全忘記其他部份的存在。
這有點兒像給照相機鏡頭配上一個濾鏡，暫時讓我們關註某一類顏色，之後再換上另一個濾鏡關註其他顏色。或者就像在燉菜的過程中盛出鍋裏的水，讓湯汁變少、變濃稠，當然你不會丟掉這些水，之後還會將其放回鍋裏。
數學最廣為人知的起點是數位。大多數孩子最初接觸數學，或者他們對數學的第一印象是數位，甚至很多人對數學留下的最後的印象也是數位。然而數學不僅僅關乎數位，雖然它呈現出數位的形態，但其實這門學科並不是為了研究數位。更準確地說，它是我們從自己的世界進入數位世界的過程，以及我們在這個過程中的收獲。
數學與數位的緊密聯系在於，對那些喜歡模糊性、創造性、想象力和自由探索的人來說，數位可能顯得很無聊。我不想說數位多麽有趣，恰恰相反，數位的確很無聊，這一點無可辯駁。
紀錄片【解碼數學】（2011）劇照。
然而，數學能包容、整合我們身邊的一部份世界，讓我們盡快從這部份工作中脫身，讓我們富有冒險精神的大腦去探索更令人興奮的那部份世界。這就像利用一台電腦處理生活中枯燥乏味的工作（對我來說包括支付賬單、訂購生活用品、調整食材），讓我可以去做一些更有趣的事情：與人交往、演奏音樂、烹飪可口的食物。
數位源於我們簡化身邊世界的渴望。難怪數學題的答案總是那麽簡單，也總是那麽枯燥。但是我們最初是如何發明數位的，過程卻是相當復雜的。數位源於我們對不同事物之間相似性的探索，以及選擇暫時忽略哪些不同。眼前的兩個蘋果和兩個香蕉讓我們看到了它們之間的某些相似之處，然後我們在大腦中形成「二」的概念。但是為了做到這一點，我們必須忽略蘋果和香蕉作為誘人的水果的具體特征，而把它們當成抽象的、沒有具體特征的事物。這是一次抽象化的飛躍，而且難度很大，孩子們總是需要一段時間來消化這個過程。我們可以適當引導和鼓勵，比如在他們面前反復數數。但他們終究需要憑借自己的力量完成這個飛躍，旁人無法替代。
問題在於，如果忘記了這些事物本來擁有的豐富多彩的特征，只關註那些「讓事情變得更加枯燥」的部份，我們就會讓一切聽起來很無聊。我們不能忘記整件事的初衷，那就是開啟一扇洞悉整個世界的大門。
本文選自【數學的邏輯】，小標題為摘編者所加，非原文所有。已獲得出版社授權刊發。
原文作者/[英]鄭樂雋
摘編/何也
編輯/張進
導語校對/柳寶慶
