林群院士在一次演講中說，丘成桐先生認為，微積分是一切高級數學的基本功。但是，微積分怎麽學呢？你翻開一本教課書，講解微積分要用好幾百頁。 我從50年前就開始學微積分了，但是看一些教課書，我看得暈頭轉向，講的內容太多了。 許多教科書很煩瑣，大家要警惕。所以我們要把微積分學好，不是讀萬卷書，不是走萬裏路，而是盡量「投機取巧」。我認為學微積分跟學別的數學一樣，「假傳萬卷書，真傳一案例」，把一個案例學好，你就把整個微積分的精神掌握了。
下面我們從一個案例開始，跟著林群院士學好微積分。
作者 | 林群
來源 | 【 微分方程式與三角測量】
數學的實用目的便是測量。最古老的例證之一是三角測量，還有一個便是微分方程式。後者是幹什麽的？其實它所做的不過是一系列三角測量的總和。因此，認識三角測量，便能認識微分方程式，即所謂溫故知新。不過，兩者的復雜性稍有區別：前者只做一次測量，後者要做一系列測量。
微分方程式被牛頓、萊布尼茲兩人（圖 0.1）創造以來，就被許多科學家所繼承使用，甚至每一門學科都對應著一個微分方程式。
圖 0.1
例如，電磁學對應馬克士威方程式，量子力學對應薛丁格方程式，即使人口理論也對應馬爾薩斯方程式。
2002 年暑期，西方幾位專家來華存取和演講，不約而同的是，他們的講題要麽是電磁波中的微分方程式，要麽是量子力學中的微分方程式。這是為什麽？他們回答：無論是手機制造公司，還是奈米研究公司，都要他們解出這些微分方程式。
微分方程式對大眾的生活也有切身的影響，比如手機或奈米，相關研究中都有微分方程式的身影。
一些關系國計民生的大事，例如人口的預測，可以由微分方程式在幾分鐘內解決。即使人文科學，例如托爾斯泰的小說【戰爭與和平】中，對歷史觀的闡釋也體現了微積的思想。可以說，自然科學、工程技術、社會科學、人文科學，都用得上微積分或微分方程式。
中學只講代數方程式和三角函式，那麽什麽是微分方程式呢？雖然大學都講了，但一般公眾對微分方程式多是一知半解，覺得它「深不見底」。直到有一天，當我聽到關於「如何測量樹高」的議論時，才恍然大悟，對微分方程式的一種新理解也隨之浮出水面。下面就請讀者和我共同體驗這個領悟的過程（圖 0.2）。
圖 0.2
牛頓、萊布尼茲或巴羅的微積分早已寫在了教科書中，但寫的不等於想的，他們怎麽想只有他們自己知道，後人只能憑自己的經歷談心得。
—天，我在一棵老樹下散步，聽到了下面的議論。
導遊：這棵老樹年年都在長高，每年都有測繪人員來測樹高。
遊客：一棵樹怎麽測高呀？要砍倒樹或爬上去嗎？
我想：中學生都知道，如果有了三角學，便無須砍樹或爬樹，可只憑一個虛擬斜邊的斜率來測量樹高呀（圖 0.3）！
圖 0.3
但同時我也頓悟：這也是一個微分方程式所要做的事情。
事實上，如果我們面臨一座山，它也對應一個「直角三角形」，不過它有著彎曲的斜邊，或者說是山坡（圖 0.4）。
圖 0.4
我們處在山坡上的一點，因為視野受限，看不見遠方。
這時，它的斜率不再是固定不變的。如果假設每個點的斜率（這只涉及彎曲山坡在這一點附近的局部性質）都是已知的，那麽這裏也會出現同樣的測量問題：測量山高能不能不必穿山，而只憑這些斜率呢？
這屬於曲斜邊三角學（因為基於曲斜邊三角形），實際上是解一個最簡單的微分方程式：已知山坡上各點的斜率（或斜率曲線），求山高（或高度曲線，圖 0.5）。
圖 0.5
斜率曲線與高度曲線合二圖為一圖（由於斜率在三角測量中是最重要的量，將它一一記錄下來，便成為斜率曲線）。
圖 0.6
令圖 0.6 的左圖收縮成一段，在一段曲線上，各點的斜率差不多相同。若將起點斜率作為這一段的斜率，然後用它來測量，給出這一段的高度增量 ≈ 起點斜率 × 底長 ≈ 縮短後斜率曲線所圍面積。各段測量的總和便是
總山高 = 斜率曲線所圍面積。
這就是牛頓 - 萊布尼茲公式。
所以將微分方程式比作曲斜邊三角測量，其復雜性便可跟初等三角測量相比較：它們都是三角測量，只是測量的次數有所不同。
這個微分方程式雖然簡單（有時稱之為最簡單的微分方程式），但極其有用。例如，測量一些曲邊形的面積，只要解一個微分方程式，花幾分鐘。否則，如果沒有微分方程式或牛頓 - 萊布尼茲公式，就需要做無數個算術，怎麽也算不完，效率有天壤之別。這就是發明微分方程式的必要性。
簡言之，樹高的測量導致三角學的出現，山高的測量導致一個微分方程式的出現。可見，現實（測量）會推動數學由初等前進演化到高等。
現實中類似的例子很多，例如 2000 年中國的人口普查，發動全民挨家挨戶地直接數，花了一年多數出 12.66 億。用微分方程式來計算預測值，一個大學生只花幾分鐘，算出的是 13.45 億，相差不多。這就是證明發明微分方程式的必要性的實際例子（圖 0.7）。
圖 0.7
數學就是這樣，另辟途徑，（例如利用斜率或增長率）獲取效率。
大學生解微分方程式（ ）計算人口普查的預測值。
現在，我們可以向公眾解答微分方程式的所作所為，它本由中學三角測量開發出來，但已不限於測量樹高，且能測量許多曲邊形的面積、算出人口預測值，等等。處理這些問題均無須直接做無數個算術，用微分方程式花幾分鐘就可以算出。所以要想有效率，就要學微積分或微分方程式。
【微分方程式與三角測量】
作者：林群
中國科學院院士林群用一個例子講透微分方程式，在測量樹高、山高的思維轉換中，領略數學的自由與魅力。
