上一篇研讨了【狭义相对论】的第一节，这一篇我们来研讨第二节。
第二节的题目是「坐标系」。初读这一节时，以为爱因斯坦大约是要搞出一个自己的坐标系，以取代前人的坐标系。在前一节，爱因斯坦就是要用「三点位于一直线上」来取代欧几里得的「过两点只有一直线」的公理。但是，读了这一节后，却没有看见爱因斯坦的坐标系。那么，爱因斯坦写这一节的目的是什么呢？我们看一下这一节的开头。
「根据前已说明的对距离的物理解释，我们也能够用量度的方法确立一刚体上两点间的距离。为此目的，我们需要有一直可用来作为量度标准的一个‘距离’（杆S）。如果A和B是一刚体上的两点，我们可以按照几何学的规则作一直线连接该两点；然后以A为起点，一次一次地记取距离S，直到到达B点为止。所需记取的次数就是距离AB的数值量度。这是一切长度测量的基础。」
所谓「物理解释」，就是要以实物为标准。如果采用科学的方法，比如用几何公式来计算，那就不是「物理解释」，在前一节中，爱因斯坦说那是不真实的。而真实的方法就是用杆子，一杆一杆量。
用杆子测量两点间的距离，爱因斯坦说「这是一切长度测量的基础」。这虽然是一句实话，但这种方法毕竟是非常原始的，人类在古代就已经学会了几何的方法。那么，爱因斯坦为什么要采用这种方法呢？倘若我们想要测量一下家里桌子的长度，随手拿一把卷尺，或者一个刻有标记的杆子，这当然是很正常的。但是如果我们要测量一座30层楼的高度，是不是也要先搭一个手脚架，然后再一杆子一杆子地测量呢？或者我们要测量一下从家里到超市的距离，是不是也要拿一根杆子，一路测量过去呢？用杆子测量楼房的高度或超市的距离，虽然是个笨办法，毕竟还是可以做到的。倘若在战场上，炮兵要测量敌方目标距离，难道也要拿着杆子到敌方去测量吗？这一节的题目是「坐标系」，爱因斯坦不使用坐标系而是使用「杆子」，他究竟想说什么呢？不要急。爱因斯坦的论述总是与众不同的。在前一篇文中我们说过，爱因斯坦总是要把一件简单的事情，用非常复杂的语言表述出来。如果他说的话，你一下子就能听懂，那就不是爱因斯坦了。我们来看下面这一段。
「描述一事件发生的地点或一物体在空间中的位置，都是以能够在一刚体（参考物体）上确定该事件或该物体的相重点为根据的。不仅科学描述如此，对于日常生活来说亦如此。如果我们来分析一下‘北京天安门广场’这一位置标记，我就得出下列结果。地球是该位置标记所参照的刚体；‘北京天安门广场’是地球上已明确规定的一点，已经给它取上了名称，而所考虑的事件则在空间上与该点是相重合的。」
（文中「北京天安门广场」这个地名，我所使用的这本「北京大学出版社」出版的【狭义与广义相对论浅说】一书的译者注释：原书举德国地名，英文版举英国地名，为方便我国读者阅读起见，改用我国地名。）
要确定一物体在空间中的位置，可以用坐标来测定。在测定位置时，三条互相垂直的线相交的那个点，就是物体的位置。爱因斯坦不使用通用的「相交」这个概念，而是使用「相重合」这个概念，是要表示与其它坐标系的不同。我们再往下看。
「这种标记位置的原始方法只适用于刚体表面上的位置，而且只有在刚体表面上存在着可以相互区分的各个点的情况下才能够使用这种方法。但是我们可以摆脱这两种限制，而不致改变我们的位置标记的本质。譬如有一块白云飘浮在天安门广场上空，这时我们可以在天安门广场上垂直地竖起一根竿子直抵这块白云，来确定这块白云相对于地球表面的位置。用标准量杆量度这根竿子的长度，结合对这根竿子下端的位置标记，我们就获得了关于这块白云的完整的位置标记。根据这个例子，我们就能够看出位置的概念是如何改进提高的。」
用一根杆子测量一块白云的高度，还说是「改进提高」了，这是不是让人很难理解呢？从理论上来说，用一根杆子来测量白云的高度是可以成立的，但也就只能在理论上来说说而已，在现实中是不可能的。爱因斯坦对此是这样解释的，
「（1）我们设想将确定位置所参照的刚体加以补充，补充后的刚体延伸到我们需要确定其位置的物体。」
这根杆子，就是爱因斯坦说的补充。
「（2）在确定物体的位置时，我们使用一个数（在这里是用量杆量出来的竿子长度），而不使用选定的参考点。」
这个参考点是用量杆量出来的竿子的长度的起点，也就是空间物体的参照物。按照爱因斯坦在前面的说法，这个参考点是和所确定的物体的位置在空间上是相重合的。竿子的长度所表示出来的点，即是这个重合的点。因此，它是一件事物的不同的几个方面中的一个方面。如果不使用这个参照物，又该如何来确定这个空间物体的位置呢？
「（3）即使未曾把高达云端的竿子竖立起来，我们也可以讲出云的高度。我们从地面上各个地方，用光学的方法对这块云进行观测，并考虑光传播的特性，就能够确定那需要把它升上云端的竿子的长度。」
竖立这根竿子的目的，是为了要测量云的高度。既然可以用光学的方法测量云的高度，又何必要竖立这根竿子呢？这实际上是爱因斯坦的一种推导方法：如果一种假设无法推导出结果，可以使用其他的结果来证明这个假设。用结果来证明推导过程，推导和结果的位置不就颠倒了吗？在这里，推导的目的也不是为了要得到结果，就只是为了推导。竖立这根竿子，也不是为了要测量云的高度，其目的就只是为了要竖立这根竿子。我们来看看爱因斯坦自己是怎么解释的。
「从以上的论述我们看到，如果在描述位置时我们能够使用数值量度，而不必考虑在刚性参考物体上是否存在着标定的位置（具有名称的），那就会比较方便。在物理测量中应用笛卡尔坐标系达到了这个目的。」
我们不知道为什么在确定位置的时候，不考虑参照物会比较方便。我们且往下看。
「笛卡尔坐标系包含三个相互垂直的平面，这三个平面与一刚体牢固地连接起来。在一个坐标系中，任何事件发生的地点（主要）由从事件发生的地点向该三个平面所作垂线的长度或坐标（x、y、z）来确定，这三条垂线的长度可以按照欧几里得几何学所确立的规则和方法用刚性量杆经过一系列的操作予以确定。」
迷底揭开了。前面说了那么多，重点就是最后的这一句。爱因斯坦把他的杆子和欧几里得几何学以及笛卡尔的坐标系搭配在了一起，就好像商业上的搭配销售。当你使用欧几里得几何学及笛卡尔的坐标系时，需要用爱因斯坦的杆子一杆子一杆子地去测量。如果长度太长，无法使用杆子的时候也不要紧，可以使用别人作出来的数据作为自己的结果。这虽然不是一种科学的方法，但的确是一种很妙的方法。或者是爱因斯坦所说的「比较方便」的方法。
崇拜爱因斯坦的人是很多的。只是不知道这些崇拜者，有没有学会使用爱因斯坦的杆子呢？
2024年4月22日写于西安
