羅素的終極目標：把數學還原到邏輯

2024-03-20科學

我對自己說，現在我終於做了一件值得做的事情。我覺得，在我把它寫下來之前必須小心，不要在大街上被車撞倒輾死。

——羅素

撰文 | [美] 威廉·鄧納姆（William Dunham）

譯者 | 馮速

羅素關於數學基礎的工作是在劍橋完成的，他先是學生後來成了教員。 1900年夏天堪稱一個「才智高潮」期, 羅素在數理邏輯方面取得了重要的進展。 這位年僅28歲的知識分子此時正處在狂熱而興奮的時期，後來他回憶說：「我對自己說，現在我終於做了一件值得做的事情。我覺得，在我把它寫下來之前必須小心，不要在大街上被車撞倒輾死。」

1901年，當時羅素正在深入研究數學的邏輯基礎。這項研究的前提是他要研究事物集合（盡管現代稱之為集合，但羅素稱它為類）間的關系。在這些類中「事物」的內容並不重要，重要的是集合論的抽象邏輯。

集合的成員資格似乎平淡無奇。如果我們考慮集合 S = {a, b, c}，那麽 b 是集合 S 的成員，但 g 不是。如果我們考慮所有偶數的集合，那麽 2, 6, 1600 都是這個集合的成員，而 3, 1/2, π 不是。

把抽象層次再提高一點，我們發現一個集合的成員本身也可以是集合。對於兩個成員的集合 T = {a, {b, c}}，第一個成員是 a，而第二個成員是集合{b, c}。或者，設 W 是一個集合，它是由所有偶數的集合和所有奇數的集合組成的, 即

W = {{2, 4, 6, 8, · · · }, {1, 3, 5, 7, · · · }}

這個集合 W 有兩個成員，每一個成員本身也是由無限多個陣列成的集合。

集合可以有集合作為成員的事實，促使羅素提出一個非常迷人的問題：一個集合能否以它自己為成員？他寫道： 「有時候我覺得好像類本身是一個成員，有時候又不是。」

他舉了一個例子，所有茶匙的集合，這個集合肯定不是一把茶匙。因此，所有茶匙的集合不是其自身的成員。同樣，所有人的集合也不是一個人，因此也不是其自身的成員。

對羅素來說，似乎某個集合的確包含它自己作為成員。他的例子是一個所有不是茶匙的事物的集合。非茶匙的集合中包含叉子、英國首相、8 位數碼，等等。的確，這些當中任何一個都不是茶匙。但是這個集合本身的確也不是茶匙（沒有人能夠用它攪拌茶），所以它的確作為另一個非茶匙的事物屬於這個集合。

或者，考慮能夠用20個或者少於20個英語單詞描述的所有集合的集合 X 。所有水牛的集合是 X 的一個成員，因為它的描述「所有水牛的集合」（the set of all buffaloes）只需要5個單詞。同樣，所有豪豬刺的集合（the set of all porcupine needles）（6個單詞）也應該在 X 中，生活在南美洲的所有蚊子的集合（the set of all mosquitoes living in South America）（9個單詞）也在 X 中。但是，這種成員資格標準保證，能夠用20個或者少於20個英語單詞描述的所有集合的集合（the set of all sets that can be described in 20 or fewer English words） X 可以用15個單詞描述，因此它也包含它自己。

顯然，每個集合都將屬於兩個範疇之一。要麽像茶匙的集合那樣，它是一個不包含自己的集合, 我們把這種情況稱為 羅素集合 ；要麽像 X 那樣，它是自身的一個成員。

當羅素決定考慮所有不是其自身的成員的集合的集合時，這些天真的思考卻帶來了一個不祥的轉向，即把所有羅素集合都收集起來形成一個大的新集合，我們記為 R 。於是， R 中就有這樣一些成員：所有茶匙的集合，所有人的集合，很多很多其他的集合。

此時，出現了一個撼動基礎的問題： R 是它自己的成員嗎？即所有羅素集合的集合是羅素集合嗎？這個問題只有兩個可能的答案：「是」或「不是」。

假設答案是「是」。那麽 R 是 R 的一個成員。為了成為一個成員， R 必須滿足成員資格標準，即上面用楷體字強調的： R 不是其自身的成員。因此，如果 R 是 R 的成員，那麽 R 不能是 R 的成員。這個明顯的矛盾排除了這個致命問題的答案為「是」的可能性。

但是，如果答案是「不是」，即 R 不是 R 的成員又如何呢？那麽 R 一定不是其自身的成員，像我們的茶匙的集合一樣，滿足進入 R 的成員資格標準。所以，如果 R 不是 R 的成員，那麽它一定自動地成為 R 的一個成員。我們再一次面臨矛盾。

對於羅素來說，這一集合應該很簡單。然而，不知何故，「每種選擇都導致與它相反的情況, 產生一個矛盾」。在這樣一個他所建立的「至今看似毫無問題的非常特殊的類」面前，他變得不知所措。 這就是今天我們所說的羅素悖論。

使用更加具體的事例來說明羅素提出的邏輯扭曲，會有助於理解。假設一位著名的藝術鑒定家決定把全世界的油畫分類成兩個互斥的範疇。第一個範疇是由這樣的油畫組成的：在畫布上的油畫中有油畫本身的像，當然這樣的油畫相當稀少。例如，我們可以作一幅畫，標題是【內部】，它畫的是一個房間及其裏面的家具：飄動的織物、一座雕像、一架三角鋼琴；鋼琴上方掛著一幅畫，它是油畫【內部】的縮小版。因此，我們的畫包含它自己的像。

另一個範疇更普遍，它是由所有不包含自己的像的油畫組成的。我們把屬於這一範疇的油畫稱為「羅素油畫」。例如，【蒙娜麗莎】就是一幅羅素油畫, 因為它裏面沒有展示它的縮小版本。

進一步假設我們的藝術鑒定家安排了一個巨大的畫展，它展出了全世界所有的羅素油畫。經過巨大的努力之後，這些油畫被收集起來，並被掛在一個巨大的大廳裏的一面墻上。這位鑒定家對自己的成就很自豪，他雇用一位畫家作一幅包含這面墻和上面東西的畫。

當這幅畫完成時，這位畫家非常準確地給這幅畫起名為【全世界所有羅素油畫】，並把它送給這位鑒定家。鑒定家仔細地檢查著畫家的作品並行現了一個小瑕疵：在這幅畫上，靠近【蒙娜麗莎】的畫像是一幅【全世界所有羅素油畫】的油畫像。這表明【全世界所有羅素油畫】是包含它自己的一幅畫，因此它不是羅素油畫。既然它不屬於這一展覽，就不應該掛在墻上展示。他要求畫家把它塗掉。

這位畫家照做了並再一次把她的作品送給鑒定家。經過仔細檢查之後，後者認識到存在一個新問題：這幅油畫，【全世界所有羅素油畫】現在不包含它自己的像了，所以它是屬於這次展品的羅素油畫。於是它應該被掛在這面墻的某個地方以免這次展覽沒有包含所有羅素油畫。因此，這位鑒定家再一次把這位畫家叫來，要求她再加上這幅【全世界所有羅素油畫】的像。

但是，一旦這幅油畫被加上，我們就又回到了起點。這幅油畫必須被塗掉，這樣一來它必須得到恢復，然後再塗掉，以此進行下去。經過幾個往復之後（希望是這樣），畫家和鑒定家將會意識到一定是什麽事情出現了錯誤：他們偶然發現了羅素悖論。

這一切好像完全不相關。但是回想一下， 羅素的工作目標是把整個數學建立在不可撼動的邏輯基礎之上。 他的悖論使這一計劃陷入困境。正如當高級公寓頂樓套房的居住者知道地下室開裂時會感到很不安一樣，當數學家們知道他們學科的基礎存在邏輯缺點時，也會感到很不安。這表明整個數學事業就如公寓塔樓一樣，隨時可能倒下。

不用說，羅素對他的悖論的存在感到很震驚。他寫道：「我就像虔誠的天主教徒琢磨邪惡的羅馬教皇一樣琢磨這個矛盾。」羅素與邏輯學家戈特洛布·弗雷格（Gottlob Frege，1848-1925）之間的交流明顯表現出了他們的不安，同樣其他人也感到沮喪。弗雷格已經出版了【算術的基本法則】，這是一部巨作, 目的在於揭示算術的基礎。在這本書中，弗雷格也是以羅素匯出悖論時同樣樸素而隨意的方式利用集合進行研究的。羅素把他的例子給弗雷格看，弗雷格立即意識到這把他的事業判處了死刑。在他的【算術的基本法則】的第二卷裏，弗雷格不得不面對每一位學者的最大夢魘：他的著作在最後的關頭被宣判有錯，因為這本書在羅素的信到來時已經準備出版了。弗雷格極度真誠而辛酸地寫道：「一位科學家最不想見到的就是在工作即將完成之際，其基礎倒塌了。當收到伯特蘭·羅素先生的來信時，我就置於這樣的境地，此時這本書就要出版了。」

這一悖論的陳述是清晰的，但是它的解決方案不清晰。經過多年不成功的嘗試之後，邏輯學家們最終嘗試著透過規定包含自身為成員的集合不是真正的集合來使其合法化。透過這樣的邏輯策略，還有若幹已經精心創造的定義，這樣的類被宣告為不合法。

這一方法的合理性也許還可以透過我們的油畫故事解釋清楚。允許談及包含自己的像的油畫嗎？如果【全世界所有羅素油畫】包含自己的像，那麽我們可能需要在放大鏡的幫助下，對這幅畫仔細檢查並行現【全世界所有羅素油畫】的迷你版。它裏面一定還有一個【全世界所有羅素油畫】的迷你版。因此，它應該像衣櫥上的鏡子一樣永遠無止境地反射。像這樣無限回歸的油畫不可能真正畫出來。

在粗略的意義下，這闡述了羅素設想的這一悖論的解決方案。他寫道：「包含某個類的所有成員的那個東西不能是這個類的成員。」因此，羅素集合中成員的自參照性是不合法的。 羅素集合根本不是集合。

經過反復的痛苦思考後得出的這一解決方案似乎很討厭且有人為的意味。羅素把它說成是「也許為真但絕不優美的理論」。但重要的是，它把對集合的研究從樸素的前羅素領域轉換到了非直觀領域。

對那些不關心數學基礎的數學家來說，整個事件似乎需要更加深入的思考。最終羅素相信，把數學還原到邏輯的終極目標不會像他年輕時所樂觀預測的那樣令人滿意。