我們已經把「做題」這件事做到了極致，不能再卷、也卷不動了。數學，除了做題以外，還有沒有好方法？
「數學學習方法反思貼」。
針對小學數學起步階段孩子們經常出錯的三大學習點： 進位、乘法、面積，把中美兩國數學教科書放在了一起，做了學習方法比較。
這裏的發現，很有新意，也非常有實際意義。
大家好，我，剛從某思「退役」的數學老師。
這次，就從我最近遇到的具體問題開始說起吧。
「雙減」後，好多機構把課程改成了線上和周中，因為時間不合適、或擔心孩子視力，我的好多家長朋友都在選擇在家「帶娃自學」。
一旦自己帶娃學，很難氣定神閑。晚上十點，收到一位媽媽的微信： 我家娃是不是退化了，三年級了，學完乘除法了，怎麽加減法錯的還這麽多！
各種1-3年級測驗後，經常會收到爸爸媽媽的微信：「老師，你看，他前面錯的題目都是計算錯誤！」
按照過往的機構套路，解決方法，就是： 做題、講解、反復練習。
這次，我決心要換種思路去解決這個問題。這讓我想起了在我書櫃裏「塵封已久」的那套書： 美國數學教科書 Go Math
我手頭只有GK-G3（美國幼稚園到3年級的），包括幼稚園，每個年級上下兩冊。
這套書是一位學生家長移民離開中國前送給我的。當時，我是收的快遞，開啟之後震驚，這是什麽，確定這是教科書嗎，這麽厚重！
和國內數學書的厚薄既視感，差異好大！
說實話，以前我對國外數學有些不屑，總感覺國外小朋友學的慢、學的容易，沒我們的孩子基本功紮實。
但最近真正看過之後，我的感受可以用「如獲至寶」來形容，它完全給我開啟了新思路。
為什麽？以下我用在課堂上遇到的三大孩子理解難點 （進位、乘法、面積） ，和大家分享我觀察到的中美數學學習方法的不同。做了這次研究與比較，我有兩大感受：
1、終於知道為什麽自己教過的那麽多孩子遇到數學學習困難了
2、終於知道以後該怎麽帶孩子解決一些比較根本的學習問題了
好，下面就來仔細說。想講得清楚，所以用的例子比較多，篇幅也比較長。如果大家能耐心讀完，給我反饋，我會十分感謝。
1
小學數學第一關:
理解「進位」
說到小學數學，肯定離不開計算，在計算中，就有第一個大難關： 有進退位的加減法。
肯定有很多爸爸媽媽在拿到小朋友的作業時，發現他們又莫名其妙的錯了好多計算題。詢問原因，娃是一筆糊塗賬，我們也感到困惑：粗心？沒有數學細胞 ？...
一、兩道錯題經典
下面先給大家看兩道我經常遇到的小朋友「錯題經典」，大家可以先猜猜他們是怎麽錯的。
這道題的錯誤原因，還容易看出端倪…
小朋友是怎麽出錯的呢？他們把個位數「4」直接和「23」中十位上的「2」加了起來，得到6，最後得出了63。
而這道，錯成了一個「謎」 ... 這娃是怎麽想的呢？
想不明白吧，我一開始也是，後來我在小朋友的草稿紙上發現了答案。當時令我印象太深刻了，草稿紙上是這樣寫的：
發現了吧，在用豎式做加法時，小朋友按照步驟先把個位數相加：7+5=12，算出來之後，就犯迷糊了，搞不清楚該向十位進1還是進2了……
孩子犯了上面這類錯誤，我們經常用 「粗心」 來解釋，其實原因並非如此，現象背後，根本問題是孩子沒搞清楚一些基本的數學概念：
1、「數位」概念不清晰，不理解「十位」和「個位」上數碼所代表的含義。
4+23=63，為啥孩子會用4去加十位上的2呢，因為孩子不清楚，十位上的2代表的不是2，而是20，不清楚數位上數的意義，所以才不知道到底要和誰加。
2、加法進位不理解，不明白為什麽需要進位。
27+35=71，個位相加得到的12，12的1其實代表的是1個10，所以才會放到十位去，2代表的是2個1，所以才會留在個位。
如果只像念口訣一樣說出「寫2進1」，而不理解為什麽進位，那當然會掉進「不知道誰留下誰進位」的坑裏。
很多時候情況下，我們會把孩子犯的這類計算問題誤判為「粗心」，然後就選擇一個簡單粗暴的方法讓孩子刻意練習——刷題！
但透過刷題讓孩子記住的是做題的套路和方法，他們很可能還是搞不清楚為什麽要這麽做。
學數學，除了刷題之外，真的沒有其他辦法了嗎？
當然不是。回答這個問題之前，我們先來看看中美教材在講解「進位加法」上，方式方法有啥不同？
二、中國課本如何講解「進位加法」
給大家先看看我們中國的 「人教版小學1年級數學教科書」 是怎麽來展現「進位加法」這個知識點的：
說到進位加法，一定要先有一個基礎知識：就是 數位的概念； 一年級課本就用這樣的方式帶小朋友認識「數位」概念。
我們大人看這樣的圖解，也得靜下心來，理解一下。對孩子們來說，就是「挑戰重重」了。
1、從視覺上來說，並非「一個圖形精確對應一個概念」。
這張圖包含的知識點和資訊過多：計數棒、計數器、寫法、讀法，還有好幾種顏色與圖案。要在這樣的一張圖中去理解數位的概念，對一年級孩子來說，真是有點難。
2、文字解釋並非足夠「準確、簡潔」，讓孩子容易理解。
比如這句話 「從右邊第一個是個位，第二個是十位……」 ，就不足夠準確。
首先，這個圖上有三個例子，這個「左右」指的是什麽，小朋友一時就反應不過來，其次，透過數的位置來判斷「十位」和「個位」，其實還是沒有解釋清楚數位的概念。
再接著看， 「有1個十在是十位上寫1，有兩個在十位上寫2，有幾個一在個位上寫幾」 ，這句話是不是有點繞口令？尤其第一個半句來說（ 「有1個十在是十位上寫1 ），這裏出現了兩次「1」和「十」，但意義卻不太一樣。對孩子來說，理解起來真的挺有挑戰性的。
3、數學課本「語文化」，強調 「怎麽認、怎麽寫」，而不是「為什麽」
小學低年級數學，對孩子語文程度（認字、對字詞句的理解）要求不低，但對數學本身的概念演繹，卻比較不夠。
講完數位，接著就是「進位加法」了，咱們的教科書的講解非常直接： 直接開算！
來算算兩個班一共有多少名學生吧！35+37=？
從小朋友的角度，這個插圖，看起來可能比較費勁：圖上並沒有把兩個班級的人數「畫」出來：左邊也是5個人，右邊也是5個人啊！
大概是考慮到課本頁面空間有限，畫不下那麽多人，於是用計數棒來體現算式。可是這些計數棒又堆在了一起，位置並沒有分別跟前面插圖中左位、右位兩個班對應起來： 人物、算式是左右結構，而計數棒是上下結構 。
其實按照書的邏輯，也是能理解：引入計數棒，主要是為了解釋豎式中的「進位」概念，因此直接用來跟豎式結構對應。
但這個是編書的邏輯，不是孩子認知的邏輯。
孩子學數學，是逐步從「具象」走向「抽象」的， 第一理解的是圖與實物，如果圖義分離，孩子就會「犯暈」。
再看課本是怎麽解釋「進位」的，比如算35+37，先加個位，「5」和「7」加起來是12，滿了1個「十」，因此向前進1位。
不知道大家註意到沒有， 這裏還是在講「怎麽進位」，而不是「為什麽進位」。
其實要理解為什麽要進位，本質上還是要理解數位，其實就是要理解十進制——「滿十進一」。
三、美國課本如何講解「進位加法」
再看看美國課本 Go Math 怎麽帶孩子理解「滿十進一」這個概念的。
1、從認識數開始就重點突出「10」的概念。
做法很巧妙、也很簡單。美國從幼稚園孩子認識數開始，就是把代表「個數」的圖形放在下圖這種10個框組成的表格中，讓孩子認識到「10」很重要，潛移默化地鋪墊「10」的概念。
哪怕是學10以內的加法，也是放在10的框架裏來學。比如，上圖中學的是6+1=7，孩子可以清晰的發現，還差3就可以湊成一個「10」了。
在「認識11-20」的部份，也是用到了10個一組的表格，非常直觀。
這類表格的反復套用，其實就是帶孩子潛移默化地接受十進制的概念。
2、重視模型使用，模型簡單易懂，表達精確、連貫統一。
美國數學課本做的特別好的一點就是，視覺統一，模型和數的對應非常清楚。而且一個模型，可以貫穿始終。
比如，用孩子常玩的「樂高」小積木，來強化10個為一組的概念。
之後，這個積木塊會抽象成綠色小方塊，但同樣是10個一組。
在上圖中，我們可以看到綠色的小方塊有兩種排列方式，一種是壘成一串的（10個），一種是單個小方塊。
註意看圖中單個方塊的排列方式，其實還是在一個無形的十進制的表格裏的。這依舊是在強化「10」的概念；而且跟小朋友表明，這些散落的方塊，每湊成一個「10」，就可以摞成一串，跟其他的方塊串放在一起（這其實就是在引入進位的概念）。
這時候用第一道題問孩子：圖中有幾個10，幾個1，合起來是多少？
7 tens 9 ones =79
這樣一來，79，「7」和「9」所代表的意義，不需要太多的文字解釋，一下子就出來了是不是很直觀。
接著再問第二個問題，單個方塊和方塊串的位置換了！會不會有小朋友把十位和個位寫反呢？
其實這道練習，就是在跟小朋友強調：一個數的十位和個位到底是什麽，並不是根據「左右」位置，而是根據這個數有幾個「10」和幾個「1」組成來決定的。
這就超越了「是什麽」，而是在從根本上解釋「為什麽」。
3、從「具象」走向「抽象」的步驟很細致，為計算做了充分鋪墊
數位的基礎打牢了，開始進入讓全世界無數小朋友抓耳撓腮的「進位加法」。
來算算25+48=？
透過前面的學習理解了「數位」，這時候孩子就可以得心應手地使用 「湊十大法」了。
從25借個「2」，給48湊個整，25+48=23+50，這樣不就好算了嗎？
加法豎式的概念也是這樣一步步引入的：
比如：37+25=？
我們可以看到，教材在直接寫豎式之前，先把方塊模型擺成了豎式的樣子。
計算：37+25，分成了三步：
第一步，將散落的單個方塊進行「湊十」（個位數相加）
第二步，把湊成一串的方塊，和其他方塊串放在一起（進位）
最後，數出有多少個方塊串，多少單個方塊……
這樣就透過模型進行了一次非常具象的豎式加法的演算。
接著，進一步從具象走向抽象，把方塊串（10），抽象成一個「豎線」，把方塊抽象成圓圈…
這樣做的目的是為了讓孩子一步步過渡到 直接用抽象的數碼符號進行計算 。
比如，為了讓孩子理解十位上的「1」，是指1個「10」，我們可以看到教材循序漸進地從 「方塊串」 到 「豎線」 再到 「1」 ，完成了整個從具象到抽象的過程。
之後，算百以內加法，就順理成章了。
比如，47+85，先個位相加：7+5=12，湊出1個10；再算有多少個10位數，4+8+1=13；13個10，又可以湊成1個百，這樣就是100+30+2=132
這個過程，讓孩子學會了加法，知其然，而且知其所以然。概念清晰、理解深刻，「貌似粗心、實則不懂」的錯題便可以減少很多。
2
小學數學第二關:
理解「乘」
讓孩子理解「乘」的概念，其實完全不是我們大人想象的那麽簡單。
1、一言難盡的「乘法口訣表」
先來說說我們的獨有發明——乘法口訣表。
這個絕對是一個充滿智慧的創造，相信絕大部份小朋友學習乘法，都是從這張口訣表開始的。
這張神奇的口訣表，大大提升了我們中國小朋友計算乘法的速度。
很多小朋友在不知道乘法是什麽的時候，嘴裏已經會背好多的乘法口訣了。
乘法口訣還和口語、故事連在了一起，也許又是「數學語文化「的一個體現。比如」 不管三七二十一「 ，比如孫悟空去西天取經要歷經」 九九八十一難「 。
但是乘法口訣真的這麽好背嗎？
之前微博熱搜上有個影片，小姑娘怎麽也不會背3x5。可憐可愛又心疼，大家肯定在想，為啥這麽簡單的一句「3×5=15」，小姑娘就是背不下來呢？
其實，對這個小朋友來說，這根本不是一個乘法計算題，也不是一個數學問題，而是一個記憶與背誦問題。
此時她完全不理解「乘」，因此在她腦海裏乘法口訣表裏的數碼就是一串沒有規律的亂碼，和下面這張圖沒有區別。
數學靠「背」，有用嗎？
我相信大家一定有自己的答案。數學不是算數，計算也不可能只靠記憶。
背乘法口訣，可以讓計算乘法的速度變快。中國小朋友的乘法計算速度一定是最快的，但是這裏有一個大問題 -- 對乘法的意義不見得真正理解 。
下圖是一個孩子的錯題，顯然沒搞清楚「乘、除」概念。看來他並沒有理解「乘」，而不理解「乘」，就不會理解「除」；就像不理解「加」，就不會理解「減」一樣。數學真是一門環環相扣、漏一步錯百步的學科。
相比之下，美國的小朋友不可能背出「one one equal one」這樣的口訣，所以他們只能慢悠悠地去了解乘法。中國二年級上學期就開始表內乘法了，美國三年級才開始。
2、對「乘」的概念引入，比較簡單
先來看看中國人教版的數學書是怎麽去引入乘法的吧！
可以看到，上面三個對加法總結的例子裏，都用了「幾個幾」的說法。
但畫風很快一轉，馬上寫出結論：2x7讀作2乘7（而不是2個7，或7個2）。「乘」雖然出現了，但它只作為一種「讀法」，其意義沒有進一步解釋。
不僅如此，這個地方還立刻引入了交換的概念，2x7=14，7x2=14。你是小朋友的話，你會不會暈？
3、美國孩子是怎麽學「乘」的？
乘 這個字對於全世界的小朋友來說，其實都是不容易理解的。
（1）用「組 groups of 」 的概念，說明「乘」
「4乘2」，嚴格上來說是4x2這個 算式的讀法。
4組「2」，意思是，「2個」為一組，一共4組，表達的是乘法的含義。
別看在語言用詞上只是小小的一個改變，但它卻可以立刻讓孩子感受到乘法的內涵。就是這麽神奇!
中國的「4個2」也有「4組2」的意思，但遠遠不夠具象，沒有大量借助 模型加深孩子理解。
相比之下，當數碼變大、計算變復雜時，美國教材的這種簡捷模型，表現力就比較強。孩子看到4*3，眼前出現這樣「4組3」的場景 ...
這比數插圖中的小人要靈活、清晰的多。
（2）用加法，幫孩子理解「乘法的含義」
孩子學乘法之前，已經對加法很熟悉了。所以，教乘法，還是從加法做起。
這個過程，中國也走，但走得很快，而且視覺化、模型化做得不夠細致。
這是美國做法。透過影像模型的方式，先引導孩子們算3+3+3+3（3為一組，一共4組）
然後再引導小朋友去探索「Another Way」，另一種演算法也就是乘法：3+3+3+3=4x3
這時乘法和加法的關系就透過影像建立起來了。
這樣做，在小朋友的腦子裏，乘法就不再是一個抽象的概念，而是從一組組相同數量的圖形，到一串相等數碼的加法，最後變成一個乘法算式。
（3）用模型，解釋「乘法交換律」
在乘法中，有一個非常重要的知識點，交換兩個因數（factors）的位置，最終的乘積是不變的。但如果只用這樣的一句話，或者簡單的圖示解釋，這個肯定很難讓小朋友清楚。
中國數學書，畫了三組小熊氣球，然後就寫了3×5=15和5×3=15。然而，小朋友在這幅圖中完全不能感受出「5組3個」這樣的概念，這種講解不太到位。
而美國數學用的「矩陣式」模型，就容易理解的多。
下面這張圖，2行5列，可以橫著數，那就是2組5，也可以豎著數，就是5組2；但不管是橫著還是豎著，都是這10個，非常清晰地表示出了2×5=5×2這個概念。
舉一反三，腦子裏有這樣的圖，就非常容易理解乘法交換律了。
如果這個小姑娘的父母當時知道可以這麽帶娃理解乘法，孩子會少掉多少痛苦。
3
小學數學第三關：
理解「面積」
最後，再簡單說說「面積」問題。
在小學階段，有一個非常抽象的概念--平面圖形的面積；這也是老把孩子們絆倒的一個「坎兒」。
小朋友最容易出現的一個問題是， 周長和面積傻傻分不清楚 ，求周長求成面積…… 其實剛剛學習周長的時候，小朋友對周長是特別清楚的，因為周長可以測量出來，有一個具體的數幫助理解。但是面積的概念就抽象多了，什麽是面積，怎麽計算面積都是很難解釋的。
那中國課本是怎麽帶小朋友理解「面積」的呢？
「黑板表面的大小就是黑板面的面積，課桌表面的大小就是課桌面的面積，數學書封面的大小就是數學書封面的面積」
我們先不提這幾句話有多麽拗口，但從邏輯方面來說，首先，面積的定義是不是就是「大小」，這兩個概念等同麽？
其次，用生活中具體事物（都是立體的）來講面積，也不夠嚴謹。比如，書桌表麪包括很多部份啊，不止有桌面，桌腿也有表面，從 立體圖形抽象出一個平面的概念，孩子理解是有困難的。
課本進一步定義：
「物體表面或封閉圖形的大小，就是它們的面積。」
這種語言形式，作為數學概念定義，也是不太符合要求的。
而美國課本，從下面的這幾個步驟帶孩子理解探究什麽是面積。
首先，引入面積中非常重要的一個概念圖形— 單位正方形 （邊長為1的正方形）。
再用 Grid Paper （格子紙）來度量各種平面圖形的面積，把「面積」這個抽象概念變成看得見摸得著的 "單位正方形格子的集合" 。
面積一旦這樣在腦海裏呈現，對於熟悉乘法的孩子來說，下面的」面積計算「就很容易了。
計算長方形的面積，可以簡單一個個數格子加：1+1+1 ... = 15
也可以按組加，5+5+5=15
然後，抽象到用乘法算出來，3*5=15
透過這個過程，把抽象的「面積」概念變為可以數出來的圖形，面積再也不是看不見摸不著的東西啦！小朋友不光理解，而且能透過各種方式算出來呢！
回到最初的問題，在家如何帶娃學數學。其實，家長不是老師，也沒時間、沒必要做老師。當前情況下，能讓孩子跟著一些資源循序漸進自我加強，也許更加可行。我的個人感受是：
在家帶孩子做數學啟蒙，與其自己甩開袖子去教、或者讓孩子做題，不如挑一些美國數學教材、練習冊（國內有不少中文引進版），讓孩子自己動手，跟著書一點點走，一步步建立數學概念認知，為以後的數學學習打下堅實基礎。
希望我的分析，能給大家帶來幫助，更歡迎大家多提意見，我們一起進步。謝謝。
原創 曉晨
