這篇文章是給中學生看的，我發現很多中學生縱使能知道分數、小數各自的集合範圍，但理解停留在表面。我想透過兩個證明來更加明確各自的內涵。「分數」這個名詞取得就很本質，把整數平均分成幾份兒就是分數。分數和整數構成有理數，無理數即不能表示成整數或分數的數。用兩整數之比就可以表示所有有理數。那麽有理數就可以由整數來構建。那無理數能用有理數來構建嗎？大學的【數學分析】就是用有理數的極限來構建的實數。「小數」這個名詞就透露了「極限」，這種數的表示天然的給了你一個收斂數列。比如π=3.1415926......，它天然的給了你一個數列｛3, 3.1, 3.14, 3.141, ......｝，這個數列就收斂到π。小數可以表示分數，也可以表示無理數，能表示成分數的小數是有限小數或無限迴圈小數。很多中學生只知道這個結論，但不知道原因。現在就給出兩個命題來證明。
命題1 ： 無限迴圈小數是分數。
證明 ：設a是一個無限迴圈小數，從小數第n位開始出現迴圈節，迴圈節長度為m，那麽
b是一個整數，則
證明了a是一個分數。舉個例子，有無限迴圈小數a=3.15616161......，100a=315.616161......，10000a=31561.616161......，則
10000a-100a=31561-315
於是a是分數。
命題2：分數是有限小數或無限迴圈小數。
證明： 假設a是一個分數表示成a=m/n，m,n是正整數，且n不等於0。設m除以n，商為x1,余數為r1，r1<n, 10*r1除以n的商為x2，余數是r2，r2<n，這樣一直進行下去，存在兩種情況，情況一是，存在t,使得
情況二是，根據抽屜原理，一定會出現一個余數與之前的余數相等，假如
則a=m/n表示成小數對於第一種情況是
對於第二種情況是
這樣就證明了分數是有限小數或無限迴圈小數。
根號二是無理數，所以它表示成小數是無限不迴圈小數。根號二是無理數的證明方法早在古希臘的歐幾裏得時期就已經出現，即用反證法假設它是分數，推出矛盾。假設
推出a,b都是偶數矛盾。
小數這種數的表示在證明實數的性質時用的比較多，比如前面寫過一篇【證明實數不可列】，就是用的小數的表示形式。
