費曼有許多既有趣又值得深思的想法，為科學世界帶來深刻的洞見。其中一個問題源於他在普林斯頓大學讀博期間，即反向噴水（吸水）的灑水器如何運動，這道題一度被稱為「費曼問題」，吸引了許多物理學家和物理教師的關註。如今，這個問題終於迎來了圓滿的解答。
撰文 | 瞿立建
科學頑童、大物理學家費曼酷愛搞怪，有很多奇思妙想。不過，他的很多奇思妙想不是純屬娛樂，而是很有技術含量和思想深度，讓很多科研人員禁不住去深入思考。
比如，我們知道，穿過導體的磁通量發生變化，導體回路中會產生電動勢。而費曼在他的課堂上講了多種例外的情形（見【費恩曼物理學講義】第2卷第17章）。這啟發物理教師們發表大量論文去辨析其中的微妙之處。
【費曼物理學講義】第1卷第46章用一章的篇幅分析了一種永動機——布朗棘輪（Brownian ratchet），這是通常的教科書中很難見到的題材。費曼的分析吸引物理學家做更深入的思索，在熱力學、生物物理、量子力學等領域產生了非常豐富的結果，並用費曼的名字重新命名了這一假想的裝置。
費曼把自己的諸多趣事寫成了書——【別逗了，費曼先生！】（Surely You’re Joking, Mr Feynman!），自1985年出版以來，至今依然不斷再版。
這本書裏有一個故事引起了物理教師和物理學家的廣泛興趣。
灑水器問題
費曼在普林斯頓大學讀研究生的時候，他在「高大上」的加速器實驗室做了一個很「low」的實驗。實驗的緣起是同學們對於流體力學課本中一道習題有爭議。【別逗了，費曼先生！】敘述這道題如下：
有一個S形的草坪噴水器——裝在轉軸上的一個S形管子——水以合適的角度向軸線方向噴，這就使它朝某一方向轉動。人人都知道它是怎麽轉的；它向與水噴出的方向相反的方向倒退。現在問題是這樣：如果是一個湖，或者遊泳池——水有的是——你把這個噴水器整個放在水下，卻讓它往裏吸水，而不是往外噴水，它朝哪個方向轉？它還是會像它在向空中噴水的時候那樣轉嗎？或者它會朝相反的方向轉？
這就是著名的費曼灑水器問題（Feynman sprinkler）。
圖中（左）噴水器噴水時會逆時針旋轉，但它在吸水時，會發生什麽？圖源：【費曼傳：天才的人生與思想世界】（格雷克著）
費曼的同學們對這個問題的答案莫衷一是。費曼與他的導師約翰·惠勒討論這個問題，也得不到答案。惠勒說：
「昨天，費曼讓我相信，它倒退著轉。今天，他同樣讓我相信，它朝相反的方向轉。我不知道明天他會讓我相信它怎麽個轉法兒！」
費曼（右）與惠勒（左）。圖源：RYAN INZANA
費曼決定做個實驗看一下。
費曼在加速器實驗室一通忙活，做出裝置開始實驗，結果因加的壓力太大，整個裝置分崩離析，玻璃片和水四下紛飛，有個來看熱鬧的同學被澆成了落湯雞，萬幸沒有人被玻璃碎片所傷。負責加速器實驗室的教授看到一片狼藉，大為光火，呵斥費曼去學生實驗室做這種「低端」的實驗。
據格雷克（James Gleick）在【費曼傳】所述，盡管實驗失敗，但費曼確信問題的答案是，噴水器吸水時會顫動一陣，轉回初始位置，停留在那裏。他和惠勒從未對別人說起過這個結果。
【別逗了，費曼先生！】出版後，這個故事更廣為人知，重新引起很多人的興趣。相關論文不斷見諸學術期刊，理論與實驗結果百花齊放：有人說噴水器吸水時會反過來轉；有人說會轉著轉著然後停下來；還有人說轉動情況與具體裝置有關……過多的結論最終使教學類頂尖期刊【美國物理學報】（American Journal Physics）在1989年一度決定，鑒於實驗結果彼此沖突，不再發表相關論文（Am. J. Phys. 1992, 60, 12）。不過，相關文章依然不斷湧來，這一決定未能執行下去。
這個看似簡單的問題，一直吸引著物理學家和物理教師們的熱烈討論，就各種現象相反的實驗，拼湊著互相沖突的理論。
現在好訊息傳來了，紐約大學的中國博士生王凱哲在導師指導下，徹底解決了這一問題的爭議。
實驗裝置與現象
研究人員精心設計了一套裝置，如下圖（a）（b）所示。
（a）實驗裝置剖面圖。（b）水流控制裝置，水量可調。（c）實驗觀測示意圖。水中添加有染料分子和小顆粒，以激光照之，用相機拍照和錄影。圖源：參考文獻[1]
兩個L形灑水管安裝在一個圓柱形的裝置上面。中心圓柱底部封閉，由內外兩層圓柱形塑膠組成，內外圓柱管頂部有個環形蓋將二者連在一起。
現在要研究的問題是，灑水管浸沒於水中且變成吸水管時，灑水器如何轉動？
實驗的關鍵是需要設計一個近於無摩擦的軸承。消除摩擦是實驗一大挑戰，這是以往實驗結果千奇百怪的主要原因。研究人員將毛細管插入灑水器的內圓柱中，在灑水器周圍套一玻璃環，毛細管和玻璃環周圍以及兩層圓柱形管之間會有毛細作用。精心設計這些器材的尺寸和材質，巧妙利用毛細作用，便能讓灑水器轉動的時候以毛細管為軸轉動，而不會碰到毛細管。整個系統中各固體裝置沒有接觸，因此摩擦力非常小。
研究人員首先觀察了灑水器正常灑水時的運動。運動情況與直覺相符：灑水器運動類似轉動的火箭，噴出的水驅動灑水器向與噴水方向相反的方向轉動。
影片1：灑水器正常灑水時的轉動。影片來源：參考文獻[1]支持材料【影片請前往「返樸」觀看】
對於反灑水器，即令灑水器吸水，灑水器也會轉，只不過轉速是正灑水器的1/50，且不穩定。噴進灑水器內部的水互相撞擊，但不是完全迎頭相撞，因此會產生一定的力矩，讓灑水器轉動。機器轉動方向與噴水時相反，但不是簡單地因為吸水與噴水方向相反。
影片2：反灑水器，即吸水的灑水器，慢速轉動。影片來源：參考文獻[1]支持材料【影片請前往「返樸」觀看】
反灑水器內部水流動情況見下面的影片（為了使水流動情況展示地更清楚，阻止了裝置的轉動）。
影片3：反灑水器內部水流動情況。影片中標記的數碼為雷諾數。影片來源：參考文獻[1]支持材料【影片請前往「返樸」觀看】
研究人員對裝置還建立了數學模型，基於雷諾輸運定理（Reynolds Transport Theorem）。
雷諾輸運定理的意思很簡單，某東西的量隨時間的變化，等於已有的此東西隨時間的變化加上此東西被送來或送出的凈增量。比如說你家饅頭隨時間的增量，等於你家饅頭隨時間的變化（全家人吃饅頭的速率減去蒸饅頭的速率）加上別人給你家送饅頭的速率（並減去你家往外送饅頭的速率）。
稍微正式一點的說法是：一定體積內某物理量隨時間的變化率等於該體積內部該物理量隨時間的變化率加上此物理量透過該體積的表面的通量。這裏所說的物理量可以說是系統任意的物理內容，比如質素、動量、能量等。
具體到本文介紹的費曼反灑水器問題，考察的物理量是角動量L，根據雷諾輸運理論，有方程式：
代入費曼反灑水器各幾何參數，可求得流體的各物理量。具體細節，這裏就不談了。
雷諾輸運方程式中各符號含義。圖源：參考文獻[1]支持材料
實驗結果與理論模型計算結果非常吻合。
(a)為實驗測得的灑水器在噴水（紅色）和灑水（藍色）時灑水器轉速隨時間的變化；(b)為灑水器定態轉速的實驗結果（原點）與計算結果（方框與直線）。圖源：參考文獻[1]
有趣謎題的解決
反向灑水器會轉，並且是與吸收方向相反轉動。本研究徹底解決了一個持續數十年的爭議，物理學家、教師、學生的好奇心得以滿足。
這一結論似乎沒有實際用途。畢竟，沒有人會考慮用這種方式在草坪上吸水。不過，文章作者認為，該研究有望用於水流的精確控制，這對於從水流獲取能量有重要價值。
當下還看不到這一遠大的前景，還是感受物理學家和教師們為一個「小問題」持續幾十年的努力吧，別有一番樂趣。
參考文獻
[1] Phys.Rev. Lett. 132, 044003 (2024). DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.132.044003
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