愛德華·威滕（Edward Witten），1951月8月26日出生於美國馬里蘭州巴爾的摩，數學家、理論物理學家，美國藝術與科學院院士，美國國家科學院院士，費斯獎獲得者，普林斯頓高等研究院自然科學學院名譽教授。
張天蓉｜撰文
偉大的科學巨匠中，愛因斯坦在公眾中的影響力無人能比，他的頭像連小學生都認識，他的名字家喻戶曉。如今，這位偉人離開這個世界已經超過了半個世紀，他所作出的幾項最傑出的貢獻，包括1905年提出光電效應和狹義相對論，以及1915年建立的廣義相對論，也都已經是100年之前的故事了。偉人是否後繼有人呢？這幾十年的歷史時期中，為了繼承這位先輩的衣缽，理論物理學家們作了哪些努力？
十分令人感到遺憾，愛因斯坦將他天才的後半生貢獻給了一項前途渺茫的研究。他一直在理論物理中尋找一條統一之路，企圖將所有的物質及各種基本的相互作用，囊括在一個單一的理論框架中。盡管愛因斯坦為此奮鬥了幾十年沒有獲得成功，但這個大統一之夢，已經深深紮根在理論物理學家們的心中，一直是理論物理學研究的中心問題之一。
1951年，也就是愛因斯坦在72歲壽誕時留下他那一張著名的吐舌頭照片的那一年，一個嬰兒降生在美國巴爾的摩，一個研究廣義相對論的猶太裔理論物理教授家裏。
圖1.1：愛因斯坦72歲那年，威滕誕生於離普林斯頓不遠的巴爾的摩
他就是現在普林斯頓高等研究院的數學物理教授，如今已成為最著名的理論物理學家之一的愛德華·威滕（Edward Witten，1951-）。
盡管父親路易斯威滕是研究廣義相對論的理論物理學家，年輕時威滕的夢想卻是走向人文之路。他高中畢業後進大學主修歷史，打算將來成為一名政治家或記者，畢業後還曾經參與支持一位民主黨候選人的總統競選工作。不過後來，他感覺從政的道路上容易迷失自我，因此「半路出家」、「迷途知返」而殺向了理論物理。從他21歲進入普林斯頓大學研究生院開始，他對物理及數學的興趣驟增，並且鉆進去便一發不可收拾。由於威滕在物理及數學領域表現出與眾不同的才能，29歲便被普林斯頓大學物理系聘為教授。
威滕的物理直覺驚人，數學能力超凡。上世紀80年代，筆者在奧斯丁大學相對論中心讀博期間，聽過與拜因貝魯克一起工作的，一位年輕而知名的弦論物理學家評價威滕。具體原話記不清楚了，大意是說：在當今的粒子物理領域中，只有威滕是理論物理學界的莫札特，相比而言，我們都只能算作宮廷樂師！
那位物理學家當年還津津有味地描述了1984年11月的那天，威滕在普林斯頓大學就弦論作報告時的精彩熱鬧情景。威滕這位當時涉獵弦論和量子場論並不太久的年輕人，以他關於卡拉比-丘流形緊化的文章【1】，在理論物理界掀起了一個超弦風暴。後來人們用「第一次超弦革命」來命名這段弦論紅火的短暫時期。
到了1990年，弦論研究處於低谷，卻傳來了國際數學聯盟授予威滕數學界最高獎項--費斯獎的訊息。
愛德華·威滕是第一位，也是迄今為止唯一的一位被授予費斯獎的物理學家。
著名英國數學家邁克爾·阿蒂亞（MichaelAtiyah），當年被邀請在費斯獎頒獎大會上介紹愛德華·威滕的工作，他因事未能出席大會，但他在書面發言中如此評論威滕：【2，3】
「雖然他絕對是一位物理學家，但他對數學的駕馭能力，足以與數學家媲美……他一次又一次超越了數學界，以巧妙的物理直覺匯出新穎深刻的數學定理……他對現代數學影響巨大……憑著他，物理再次成為數學的豐富靈感和直覺的源頭。」
的確如此，從威滕幾百篇論文涉及的課題來看，大多數是物理方面的。他是弦論的開創者，研究量子場論的專家，1995年，他提出的M-理論掀起弦論的第二次革命。除了物理之外，威滕對相關的數學方面作出許多貢獻，我們在後面的章節中還會介紹，這兒就其與費斯獎有關的工作簡單概括為如下幾點。
（一）正能量定理
愛因斯坦廣義相對論的核心是重力場方程式。著名美國物理學家約翰·惠勒曾經用一句話來概括廣義相對論：「時空告訴物質如何運動，物質告訴時空如何彎曲」【4】。這句話的意思就是說，時空和物質透過重力場方程式聯系到了一起。這個方程式的一邊是物質的能量動量張量，另一邊則是由四維空間的曲率及其導陣列成的愛因斯坦張量。重力場方程式的解描述在一定的物質分布下時空的幾何性質，它實際上是一個二階非線性偏微分方程式組，要想在數學上求得此方程式組的解非常困難。方程式只在某些特殊情形下有解析解，比如，重力場方程式的真空解是平直的閔考斯基四維時空；物質分布為球面對稱的準確解稱為史瓦西解。
盡管求解重力場方程式困難重重，但根據它來研究物質及空間的種種性質卻行之有效。為此物理學家們作了種種努力，正能量定理（或稱正質素猜測）便是沿此思路而匯出的一個漂亮結果。定理的大意如此：如果在一個重力系統中，物質被包圍在一個有限的範圍內的話，重力場方程式的解是漸近的閔考斯基四維時空，也就是說，在距離這個物質區域足夠遠的地方，時空可以近似看作是平坦的。對這類漸近平坦重力體系，可以定義一個總能量值，即系統的全部能量之和。人們猜測：這個值是一個正數或零，並且，若且唯若該重力系統是完全平坦的閔考斯基空間時，該總能量值才會為零。進一步，從這個定理可以推出閔考斯基空間是重力場方程式的一個穩定基態解。
是美籍華裔數學家丘成桐，使用非線性偏微分方程式中的極小曲面理論，在1979年對此猜想給出了一個完全的證明。這在當時是一個了不起的工作，也是丘成桐之後獲得Fields獎的主要成就之一。
兩年後的1981年，威滕用線性偏微分方程式理論，源於物理中經典超重力的思想，對正能量猜測給出了一個十分簡潔的證明【5】。
（二）Morse理論
記得在中科院理論物理所讀研時，指導教授用一個笑話來解釋拓撲方法與分析方法的區別：
人們需要捕獲山中的一只老虎。如何解決這個難題呢？作數學分析的專家回答：你們必須首先選擇一個座標，確定老虎某時某刻所在的準確位置，老虎離你們的距離等等，然後，吧啦吧啦吧啦……。而拓撲學家則說：不需要那麽復雜的細節呀，你們只要建好一個關老虎的籠子，然後，再對整個空間作一個拓撲變換，將籠子外變換成籠子內，老虎不就關進籠子裏了嗎……
這個笑話也許不算十分準確，但卻大概地表明了拓撲學的基本方法：它不在乎位置、距離、大小這些與度量有關的東西，而只研究曲線或曲面（或流形）連續變換時的性質。
不過實際上，拓撲的方法與分析的方法是可以關聯起來的。研究表明，流形的整體拓撲性質，可以與流形上函數的性質密切相關。莫爾斯（Morse）理論，就是透過研究流形上的函數性質，來得到流形的拓撲資訊。
莫爾斯理論是微積分與拓撲的結合，屬於微分拓撲範疇。它透過研究流形上的函數全部臨界點的性態，來探索流形的整體拓撲性質，因而也被稱為臨界點理論。所謂臨界點，就是一階導數為0的點，對應於大家熟知的平面曲線上的極值點，是這個極點概念在泛函、變分、和流形上的推廣。莫爾斯理論的核心是莫爾斯本人於1925年推廣極小極大原理而得出的莫爾斯不等式。
威滕的工作則是給出了Morse不等式的一個新證明，把臨界點理論和同調倫聯系起來。人們認為，威滕1982年就此工作發表的論文標誌著「量子數學」的開端【6】。
（三）Knots扭結理論
扭結理論是拓撲學的一個分支，它研究的是嵌入三維空間中的一維圈狀圖形的拓撲結構，因而又將其俗稱為「繩結的數學」。從人類文明之初開始，繩結就與人類的生活糾結在一起，簡單如系鞋帶，復雜如織毛衣，這些生活體驗都與繩結的結構相關聯，還有歷史悠久傳遍世界的美麗而智慧的「中國結」，更是一個令國人自豪的例子。
雖然繩結的歷史已有幾千年，「扭結」發展成數學上的一門學科，卻只是一百多年之前的事，這得歸功於數學王子高斯（CarlFriedrich Gauss，1777-1855）。
拓撲學研究中的核心問題之一是拓撲變換中的不變量。不變量具有將不同拓撲形狀分類的能力，各種拓撲不變量的分類能力有所不同，有的能力強，有的能力弱。找到能力更強的拓撲不變量是拓撲學研究的目標之一。在扭結理論中，有一類重要的不變量以多項式的形式表示，最早（1923年）提出的亞歷山大多項式一直被用來對各種扭結形態分類，但人們發現它的能力不夠強，無法區分某些顯然不一樣的扭結，比如手征性不同的扭結，這個困難直到60多年後的1984年才被紐西蘭數學家佛漢·瓊斯（VaughanJones，1952-）發現的瓊斯多項式（jonespolynomial）所解決。瓊斯由此而在1990年，與威滕等共4名數學家共同分享該年的費斯獎。
威滕的貢獻則是將瓊斯多項式的有關理論帶到了物理學界，將規範場理論中使用的陳省身- 西蒙斯理論（Chern–Simonstheory）與瓊斯多項式結合起來，他的方法對低維拓撲的研究有深遠影響。因為威滕的工作，扭結理論重新成為理論物理學家們的寵兒【7】。對此我們將在後面正文的「拓撲」部份作更多的介紹。
其實，歷史地看，威滕作為一個理論物理學家得到費斯獎，也不是很奇怪的事情。理論物理和數學，本來就是同宗同源的兄弟，他們時分時合，源遠流長，交叉滲透，互相影響。從伽利略和牛頓開始，到高斯、傅立葉、麥克斯韋、龐加萊、希爾伯特，以及近代的楊振寧、威滕等等，一個個人物都既懂物理，又通數學。更有趣的是，物理學界稱他們為物理學家，數學界則稱他們為數學家。因此，自古以來數理同源，數學為物理學家提供解決問題實作理論的漂亮手段，物理則在一定程度上，成為數學家靈感和直覺的重要源泉。
這個博文系列將帶領你追溯數學物理的源頭，從微積分及變分法的發現歷史開始，到相對論與黎曼幾何，量子理論與拓撲，以及群論和隨機過程在物理中的套用等等，帶你進入數學物理及與其發展緊密相關的理論物理的大門。
參考文獻：
【1】PCandelas, GT Horowitz, A Strominger, E Witten，Vacuum configurations forsuperstringsNuclear Physics B 258, 46-74，1985
【2】L DFaddeev, On the work of Edward Witten, Addresses on the works of Fieldsmedalists and Rolf Nevanlinna Prize winner (Tokyo, 1990).
【3】MAtiyah, On the work of Edward Witten, Proceedings of the International Congressof Mathematicians, Kyoto, 1990 I (Tokyo, 1991), 31-35.
【4】Wheeler,John A. (1990), A Journey Into Gravity and Spacetime, Scientific AmericanLibrary, San Francisco: W. H. Freeman
【5】E,Witten: A new proof of the positive energy theorem, Comm. Math, Phys. 80 (1981)，381
【6】E.Witten; Supersymmetry and Morse theory. J. Diff. Geom. 17 (1984) 661
【7】E.Witten: Quantum field theory and the Jones polynomial, Comm, Math, Phys, 121 (1989) 351
本文原載於科學網「張天蓉網誌」。
