偏微分方程式，簡稱為PDE，是一種數學方程式，它涉及到一個或多個變量的函數及其相對於這些變量的偏導數。與普通微分方程式（只包含一個自變量的導數）不同，偏微分方程式用於描述在多個維度或變量（如時間和空間）上變化的現象。
偏微分方程式在科學和工程的多個領域中極為重要，因為它們能夠模型化和解釋復雜系統的行為，比如：
- 物理學：波動方程式描述聲波或光波的傳播，熱傳導方程式描述溫度如何隨時間和空間變化。
- 工程學：流體力學中的納維-斯托克斯方程式描述流體的流動。
- 經濟學：在金融學中，偏微分方程式用於定價衍生品，如比歷克-斯科爾斯模型。
- 生物學：擴散方程式可以用來模擬族群的擴散或疾病傳播。
- 電腦科學：在影像處理中，高斯模糊等操作可以視為偏微分方程式的解。
偏微分方程式的分類通常基於它們的線性特性（線性或非線性）、階數（一階、二階等）以及方程式的類別（橢圓型、拋物型、雙曲型），這些分類對應於不同類別的物理問題和解的性質。解決偏微分方程式可以采用解析方法，但在復雜情況下，通常需要數值模擬和計算方法。
偏微分方程式在科學和工程領域扮演著至關重要的角色，它們是理解自然現象和設計技術進步的基石。以下是六個著名的偏微分方程式，它們對科學和世界產生了深遠的影響：
1. 麥克斯韋方程式組
這組方程式由占士·克拉克·麥克斯韋提出，描述了電場、磁場與電荷、電流之間的關系。它們不僅解釋了電磁波的性質，預言了光的本質，還為無線電、電視、雷達等技術的發展奠定了理論基礎。
2. 薛定諤方程式
由埃爾溫·薛定諤提出，是量子力學的核心方程式，描述了量子系統隨時間演化的方式。它解釋了原子結構，預測了化學鍵的形成，是現代電子學、材料科學和納米技術的理論根基。
3. 愛因斯坦的廣義相對論方程式
艾拔·愛因斯坦的這一方程式組重新定義了重力，將重力解釋為時空的曲率。它不僅預測了黑洞和重力波的存在，還對GPS定位系統的精確性至關重要。
4. 帕松方程式
在電磁學中，帕松方程式描述了靜電場在給定電荷分布下的分布情況。它在工程學，尤其是電力工程和電磁場分析中有著廣泛套用。
5. 傅立葉熱傳導方程式
由讓-巴蒂斯特·約瑟夫·傅立葉提出，描述了熱量在介質中的擴散。這一方程式在天氣預報、材料科學、熱能工程等領域有著廣泛的套用。
6. 朗道-列夫席茲方程式
在宇宙學中，朗道-列夫席茲方程式用於描述宇宙的膨脹，特別是考慮到重力和物質分布的影響。這對理解宇宙的大尺度結構和暗物質的研究至關重要。
這些偏微分方程式不僅揭示了宇宙的奧秘，也推動了技術的革新，改變了我們的世界。
