作者 | 陳關榮
來源 | 華院計算
數學費斯獎 （Fields Medals，正式名稱International Medals for Outstanding Discoveries in Mathematics）是國際數學聯盟（International Mathematical Union）旗下國際數學家大會上頒發的一個重要獎項。該獎項是根據加拿大皇家學會院士、數學家約翰·卓思·費斯（John Charles Fields，1863-1932）的意願以他的遺產設立的。費斯獎每四年頒發一次，授予當年元旦前未滿40歲的有卓越貢獻的優秀數學家。按規定每次最多可有四位受獎人，但傳統上每次只頒發給兩位，每人一枚金質獎章和1500美元獎金。
第一次費斯獎於1936年頒發，授予29歲的芬蘭數學家拉爾斯·阿爾福斯（Lars Valerian Ahlfors，1907-1996）和39歲的美國數學家傑西·道格拉斯（Jesse Douglas，1897-1965）。阿爾福斯證明了法國數學家阿諾·丹喬伊（Arnaud Denjoy，1884-1974）在1907年提出的一個猜想，即「全純函數 的不同有限漸近值的個數不大於該函數階的兩倍」，並行展了復變函數和黎曼曲面的幾何分析方法；道格拉斯則證明了由意大利裔法國數學家約瑟夫-路易斯·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange，1736-1813）於1760年提出、後來由意大利數學家約瑟夫·普拉托（Joseph A. F. Plateau，1801-1883）總結出來的一個數學問題，即給定邊界的最小曲面的存在性。
圖1 拉爾斯·阿爾福斯
阿爾福斯是二十世紀最傑出的一位復變函數理論家。他在榮獲費斯獎半個世紀之後，於1981年因對復變函數基本理論的貢獻及其幾何分析方法的創立而榮獲沃爾夫數學獎（Wolf Prize in Mathematics）。該獎項是沃爾夫基金會在1978年設立並開始頒發的年度數學獎，表彰成果豐碩的資深數學家的終身成就。基金會由知名猶太人工業家列卡度·沃爾夫（Ricardo Wolf，1887-1981）於1975年設立。這裏順便提及，著名數學家陳省身也獲得過沃爾夫數學獎，而像阿爾福斯那樣獲得費斯和沃爾夫兩項大獎的華裔數學家有丘成桐。
【一】生平
阿爾福斯於1907年4月18日出生在芬蘭赫爾辛基。他家至少從爺爺一代開始就居住在奧蘭群島（Aland Islands）。該群島是芬蘭的一部份，但大部份居民是瑞典人而且全島只說瑞典語。「阿爾福斯」是典型的瑞典姓氏，他一家幾代人也都只說瑞典語。父親卡爾·阿克塞爾（Karl Axel M. Ahlfors，1874-1961）出生在奧蘭群島，年輕時是一名機械工程師，後來成為赫爾辛基理工學院的工程學教授。母親西瓦·赫蘭德（Sievä Helander，1881-1907）在生下阿爾福斯時難產去世。他有兩個姐姐：Aune（1902-1921）和Isa（1905-1990）。父親後來再婚，有一個小女兒。
阿爾福斯小時候在赫爾辛基一間瑞典語私立學校讀書。在學校裏，他開始學習芬蘭語，同時也學習德語、英語和法語。在家裏，阿爾福斯三歲起父親便經常問他一些簡單有趣的數學問題，因此他從小就對數學著迷。他並不是神童，在家裏跟著兩個小姐姐學習數學。他喜歡讀書，最大的樂趣是做數學習題。但他不喜歡運動，總覺得周末和假日不上學很無聊。他喜歡學習各種語言，而最不喜歡學習的是歷史課。此外，他學會了拉大提琴。在家裏，父親對他的學習從來都不施加壓力。他後來回憶道：「在見過許多同輩天才少年被望子成龍過於心切的父母逼成庸才之後，我非常感謝父親的克制。當年我們的高中課程並不包括微積分，但我設法自學了一些。這要歸功於我經常偷偷地去看父親家藏的工程學書籍。」起初，父親希望他成為一名工程師，但意識到他對數學充滿熱情卻無法掌握好機械知識時，父親便改變了想法，希望他成為一名數學教授。
阿爾福斯1924年中學畢業後就讀於赫爾辛基大學，並於1928年春畢業，獲哲學學士學位。他決定留校繼續學習數學，成為了恩斯特·林德洛夫（Ernst Leonard Lindelöf，1870-1946）和羅爾夫·奈望林納（Rolf Herman Nevanlinna，1895-1980）兩位教授的研究生。
林德洛夫教授是自學成才的數學家，被譽為「芬蘭數學之父」，因為上世紀二十年代芬蘭的所有數學家都是他的學生，包括奈望林納。因此，阿爾福斯是奈望林納的學生也是他的師弟。奈望林納後來在數學界聲望很高。1962年，奈望林納擔任國際數學家大會主席。當年，他還是國際數學聯盟主席和費斯獎評審委員會主席。他這三位一體的學術地位，實屬空前絕後。在1982-2018年間的國際數學家大會上，國際數學聯盟不僅頒發以純粹數學為主題的費斯獎，還頒發一個以套用數學為主題的大獎——奈望林納獎。該獎後來更名為國際數學聯盟珠算獎（IMU Abacus Medal）。
1928年秋天，在瑞士蘇黎世理工大學（ETH Zurich）任教的德國數學家赫爾曼·外爾（Hermann K. H. Weyl，1885-1955）開始學術休假，準備到美國存取一年。於是他邀請奈望林納去蘇黎世理工大學接替他的職位。阿爾福斯在導師林德洛夫的建議下跟隨奈望林納一同前往瑞士訪學。當時，在蘇黎世理工大學任職的匈牙利數學家喬治·波利亞（George Polya，1887-1985）主持一系列的數學討論班。奈望林納在討論班的多次演講中介紹了復變函數論中一些懸而未決的重要問題，包括丹喬伊關於全純函數漸近值個數的猜想。沒想到，丹喬伊猜想吸引了博士生阿爾福斯的強烈興趣。
在蘇黎世理工大學訪學期間，阿爾福斯在奈望林納和波利亞兩位教授的指導下開始了有意義的數學研究工作。他基於自己發展的共形對映（conformal mapping）方法對全純函數漸近值分布做出了很好的研究結果。他非常感激兩位教授為他提供了「相當大的幫助」。可是兩位教授卻認為，那是阿爾福斯自己完成的主要工作，他們堅持要求學生僅以自己的名義去發表文章。多年之後，阿爾福斯還很認真地說：「後來我一直試圖透過不接受與學生合著文章的方式來償還我欠他們兩位的債務。」
1929年，阿爾福斯用自己發展的新方法證明了丹喬伊猜想，讓它成為一條「丹喬伊-阿爾福斯定理」。這個令人驚詫的成果讓時年21歲的阿爾福斯聲名鵲起。在返回芬蘭三個月前，阿爾福斯跟隨奈望林納前往巴黎，在那裏他們見到了丹喬伊本人。丹喬伊高興地說，現在21是他最喜歡的數碼，因為他在21年前提出的猜想現在被一個21歲的年輕人證實了。後來，數學文獻中有了一條「丹喬伊-卡勒曼-阿爾福斯定理」，其中的托斯頓·卡勒曼（Torsten Carleman，1892-1949）是瑞典數學家，他在1933年發表了關於丹喬伊猜想的一個簡潔證明，為後人所采用。
1930年，阿爾福斯從蘇黎世返回芬蘭後，在位於Turku的一間瑞典語奧博大學（Åbo Akademi）獲得了第一份教職，開始時擔任代理講師，後來成為常任講師。在該校教書同時，他也註冊為赫爾辛基大學的在職研究生，繼續跟隨林德洛夫和奈望林納做函數論研究。1930-1932年間，阿爾福斯多次前往歐洲訪學。期間，他獲得洛克菲勒基金會獎學金資助，在巴黎停留了較長的時間。
1932年，阿爾福斯完成了學業。他的博士畢業論文題為「共形對映理論和全純函數的研究」。
阿爾福斯完成博士學位後，隨即在赫爾辛基大學擔任數學助理教授。1933年，阿爾福斯與奧地利姑娘埃爾娜·萊納特（Erna Lehnert，1902-2001）結婚。埃爾娜先是隨父母從維也納遷居到瑞典，然後遷居到芬蘭。阿爾福斯夫婦倆養育有三個女兒，Cynthia Mary，Vanessa Elisabeth，Caroline Gertrud，和一個兒子Christopher。
圖2 阿爾福斯和他的三個女兒（奧地利，1950）
1935年，阿爾福斯發表了他關於黎曼曲面最重要的論文之一，其中他使用了特異位造的共形對映指標，並給出了他自己關於奈望林納理論的幾何版本。1935年，阿爾福斯到慕尼黑旅行時結識了希臘裔德國數學家康斯坦丁·卡拉狄奧多裏（Constantin Carathéodory，1873-1950）。卡拉狄奧多裏十分欣賞阿爾福斯關於全純函數理論的研究成果，認為他開啟了復變函數分析的全新篇章，並稱之為「度量拓撲」。卡拉狄奧多裏主動推薦阿爾福斯到美國哈佛大學任職。他在回復哈佛數學系主任招聘咨詢的信中寫道：「這裏有一個年輕芬蘭人，阿爾福斯，你應該考慮聘請他。」於是阿爾福斯獲得了哈佛大學以特別高薪雇請的客座講師職位，隨後於1936-1938年在哈佛大學任正式助理教授。
1936年，卡拉狄奧多裏被國際數學聯盟委任為費斯獎評審委員會成員。他後來回憶說，當時給阿爾福斯頒發費斯獎的理由，很難說是因為他證明了丹喬伊猜想還是因為他用新穎的幾何方法發展了奈望林納理論（Nevanlinna theory）——因為後者也是令人驚訝的：奈望林納在許多年裏發展了一整套復變函數理論，阿爾福斯輕易地把它濃縮為十四頁紙的內容。
阿爾福斯1936-1938年在哈佛任教期間，赫爾辛基大學發生了關於教學語言的紛爭，之後特別設立了瑞典語教授的職位。1938年，阿爾福斯應邀回到赫爾辛基大學擔任瑞典語數學教授。然而，1939年底，蘇聯和芬蘭之間發生了著名的「冬季戰爭」（talvisota）。阿爾福斯便將家人送往瑞典與親戚同住，而他自己仍然留在赫爾辛基。雖然那時大學經常因戰火而關閉，他躲在防空洞裏卻做了很多很好的數學研究。1944年夏天，阿爾福斯估計芬蘭即將面臨一個政治和經濟都非常困難的時期，在奈望林納的鼓勵和幫助下，他決定前往瑞士蘇黎世理工大學任職。阿爾福斯在赫爾辛基等待蘇黎世方面的答復期間，抽空前往瑞典探望家人。到了瑞典，他的健康狀況變得很差，甚至心律不整。由於戰爭原故，他無法從瑞典前往瑞士，因而到蘇黎世就職的機會微乎其微。1945年3月，在一個月黑風高的夜晚，阿爾福斯一家人乘坐一架剛修復好的美式Flying Fortress舊飛機「出逃」。他們和其他十幾名乘客一道，戴上氧氣面罩並穿上救生衣，從斯德哥爾摩飛到了蘇格蘭的Prestwick。然後，他們坐火車到了Glasgow，再乘船橫渡英吉利海峽到了法國Dieppe，又經巴黎橫跨法國，才進入瑞士到達蘇黎世。整段路程非常曲折艱辛。最令他夫婦痛苦的是，繈褓中的兒子Christopher在路上因意外事故不幸身亡。
可是，阿爾福斯在蘇黎世理工大學過得並不愉快。他後來回憶道：「坦白地說，我在蘇黎世過得不太開心。戰後時代對於一個陌生人來說並不是在瑞士紮根的好時機。......我和我的妻子在自己同事圈子之外感到不受歡迎。」
1946年，在赫爾曼·外爾的強力推薦下，哈佛大學邀請阿爾福斯回到哈佛任職正教授。兩年之後，他被選為數學系主任。1964年，他獲任哈佛大學威廉·卡斯巴·格勞斯坦（William Caspar Graustein）數學講座教授職稱。順便提及，多年之後丘成桐接任了這個哈佛格勞斯坦數學講座教授榮譽職位。
阿爾福斯在哈佛工作直至1977年70歲時退休。之後，他和家人定居在波士頓地區。1996年10月11日，阿爾福斯在麻省Pittsfield的一家療養院因肺炎去世，享年89歲。
圖3 阿爾福斯在哈佛大學（Bill Graustein攝）
【二】成就
阿爾福斯畢生取得好幾項重要數學成果。他不但證明了丹喬伊猜想，還推進了函數值分布理論並從幾何角度推匯出奈望林納理論，又與德國數學家赫伯特·格羅茨奇（Herbert Grötzsch，1902-1993）和保羅·泰希米勒（Paul Teichmüller，1913-1943）以及蘇聯數學家米哈伊爾·拉夫連季耶夫（Mikhail Lavrentiev，1900-1980）等人一起，建立了擬共形對映（quasi-conformal mapping）理論。該理論後來在電腦圖形學等工程技術中有很成功的套用。阿爾福斯和拉脫維亞裔美國數學家利普曼·貝爾斯（Lipman Bers，1914-1993）合作，在德國數學家菲利克斯·基利因（Felix C. Klein，1849-1925）引進的基利因群方面做了許多重要工作。他開創性地研究了高維空間中的擬共形變形（quasi-conformal deformations）。特別是，他將當時全新的拓撲學和微分幾何學的方法引入到復變函數理論研究中，對黎曼曲面幾何分析作出了一系列重要貢獻。
1981年，阿爾福斯獲得了作為數學家終身成就標誌的沃爾夫數學獎，獎勵他「在幾何函數理論中的開創性發現和強大新方法的建立」。獎詞中說：「半個多世紀以來，復變函數理論一直受到榮休教授拉爾斯·阿爾福斯的思想和工作的引導。他的成就包括證明了丹喬伊猜想，以幾何方法推廣了奈望林納關於施瓦茨引理（Schwarz lemma）的重要理論，發展了極值長度（extremal length ）方法，並獲得黎曼曲面、擬共形對映和泰希米勒空間理論中的許多決定性的結果。阿爾福斯為基利因群建立了有限性定理，他在極限集方面的工作重振了一個重要的研究領域。他現在正在高維擬共形變形方面進行開創性工作。阿爾福斯的影響是廣泛而有意義的。他的方法將深刻的幾何洞察力與巧妙的分析技巧結合起來，並以極其簡單而清晰的方式表達出來。他一次又一次地嘗試並解決整個學科的中心問題，而其他數學家則一次又一次地受到他多年前所做工作的啟發。」
阿爾福斯作為教授指導了24名博士生和差不多同樣數量的客座和博士後研究人員。他還出版了幾本影響深遠的專著和教科書，其中最著名的是1953年出版的【復分析】，它在整個二十世紀保持了復變函數論核心教科書的地位。阿爾福斯其他專著包括1960年與師弟Leo Sario合著的【黎曼曲面】、1966年的【擬 共形對映講義】和1973 年的【共形不變量講義】，都是領域中的經典讀物。
圖4 阿爾福斯的主要著作
阿爾福斯在他的職業生涯中獲得過許多榮譽和獎勵。除了費斯獎和沃爾夫獎之外，他還獲得1960年美國工業和套用數學學會的約翰·馮·紐曼講座獎（John von Neumann Lecture Prize）以及1982年美國數學學會的勒羅伊·斯蒂爾獎（Leroy P. Steele Prize）。他在1986年擔任國際數學家大會名譽主席，是唯一被三次邀請到國際數學家大會上作大會報告的數學家。他獲得美國波士頓大學、芬蘭奧博大學、瑞士蘇黎世大學和英國倫敦大學授予榮譽博士學位。他還被遴選為芬蘭國家科學院、瑞典皇家科學院、丹麥皇家科學院和美國國家科學院院士。
【三】為人
也許是因為小時候喜歡到學校上課的緣故，阿爾福斯畢生都樂意並認真地教書。他被學生和同事銘記為一位謙恭優雅的君子、一個和學生愉快相處的導師。他性格內向，但喜歡美食、美酒和聊天，而且他很特別——總是在渴望第二天的工作。
人們常說名人總有軼事，事實上阿爾福斯也不例外。
1991年6月的一天，普林斯頓大學出版社編輯當勞·阿爾伯斯（Donald J. Albers，1941-）來到緬因州East Booth Bay，在阿爾福斯家庭小屋裏采訪了他。對話中，他們絕大部份時間都在回顧阿爾福斯的生平糊他所做的數學。在存取結束前，阿爾福斯被問到他對物理學的看法。他非常明確地回應道：「我不相信物理學！」「物理學家離數學如此之近，但他們不懂數學。」「也許物理學家對數學很重要，但對我來說在任何意義下他們都不可能是重要的。我認為數學家不應該從物理學那裏獲取他們的靈感。」——呵，這聽起來真有點像英國劍橋大學的著名數學家戈弗雷·哈代（Godfrey H. Hardy，1877-1947），他認為「真正數學家的真正數學（無論其為套用數學或純粹數學），即費馬、歐拉、高斯、阿貝爾、黎曼的數學，幾乎全部都是無用的。」他說「我從未做過任何有用的事情。」
前面提到過，在第二次世界大戰末期的1944年夏天，阿爾福斯從芬蘭赫爾辛基前往瑞典看望家人。當時，他除了隨身攜帶的費斯金質獎章以外，只有10克朗的零錢。明知戰爭時期任何東西一旦離開自己，很可能便會永遠消失，他還是毫不猶豫地把獎章拿到當鋪去典當，湊足了錢買火車票。多年以後，阿爾福斯回憶起這件事時說：「獲得費斯獎帶給了我一個很實在的好處—— 它讓我湊夠了路費。」阿爾福斯非常肯定地說：「我確信那是唯一在當鋪裏停留過的費斯獎章。」不過，讀者先不忙為他惋惜。阿爾福斯接下來笑著補充說：「後來我一有錢便請瑞士的朋友幫我把它贖回來了。」
圖5 阿爾福斯夫婦（晚年照片）
