從人類歷史的長遠角度來看，比如說，從現在開始的一萬年來看，毫無疑問，19世紀最重要的事件將為麥克斯韋對電動力學定律的發現。美國內戰與同一年的這一重要科學事件相比，將顯得微不足道。"——里察-費曼，第二卷；第1講，電磁學。
偏微分方程式在理論和數學物理學中發揮了巨大作用。這一切都始於19世紀，光的波動理論在觀察和分析良好的實驗結果的下得以確立。在這裏，偏微分方程式第一次作為基本物理現實的自然表達而出現。理論物理學發展的新時代從麥克斯韋、法拉第和赫茲開始。在這場物理學革命中，麥克斯韋是絕對的領頭人。麥克斯韋在他的微分方程式中表達了當時關於光和電磁現象的全部思想。麥克斯韋表明，電場和磁場實際上是依賴性的變量，重新定義了先前關於電場和磁場的概念。
我們可以這樣說：在麥克斯韋之前，人們將物理現實（就其被認為代表自然界中的事件而言）視為物質點，其變化完全由運動組成，受制於微分方程式。在麥克斯韋之後，人們把物理現實看作是由連續的場來表示的，這些場在機械上是不可解的，它們受制於偏微分方程式。這種對現實概念的改變是自牛頓以來物理學界最深刻和最富有成效的改變。——A. 愛因斯坦在麥克斯韋誕辰100周年時的講話。發表於1931年。
面對法拉第的實驗結果，以及早期其他傑出的物理學家，如安德烈-馬里-安培的理論，麥克斯韋對電場和磁場方程式的數學形式感到困惑，並以非凡的洞察力對其方程式進行了一些修改。今天，麥克斯韋的理論可以由四個方程式來概括。但他的公式采用了20個聯立方程式的形式，包含20個變量。他的方程式中的維度部份（X、Y和Z方向）必須被單獨列出。他還使用了一些反直覺的變量。
這裏，E和B和J分別是描述電場強度、磁通密度和電流密度的向量場，ρ描述電荷密度，D是電位移，H代表磁場強度，t是時間。
麥克斯韋的第一個方程式是：
在一個任意體積V上進行積分，我們得到：
但根據高斯定理，我們得到：
這裏，q是體積V中包含的凈電荷。S是包圍體積V的表面。麥克斯韋的第一個方程式表示。透過包圍體積的表面的總電位移等於該體積內的總電荷。
麥克斯韋的第二個方程式是：
在一個任意體積V上進行積分，我們得到：
使用高斯散度定理將體積積分變為表面積分，我們得到：
麥克斯韋的第二個方程式表示:透過任何封閉曲面S的總向外磁感應通量B等於零。
麥克斯韋的第三個方程式是：
根據斯托克定理，將左手邊的表面積分轉換為線積分，我們得到：
麥克斯韋的第三個方程式標誌著。圍繞封閉路徑的電動勢（e.m.f. e = ∫c E.dI）等於與該路徑相連的磁通量的負變化率（因為磁通量Φ = ∫s B.dS）。
麥克斯韋的第四個方程式是：
在以曲線C為界的曲面S上求曲面積分，得到：
使用斯托克定理將上式中L.H.S.上的表面積分轉換為線積分，我們得到：
麥克斯韋的第四個方程式表明，圍繞一個封閉路徑的磁動力等於透過該路徑邊界的任何表面的傳導電流和位移電流。
然後將一般方程式套用於磁擾動透過非導電場傳播的情況，它表明，唯一可以如此傳播的擾動是那些在傳播方向上橫向的擾動，傳播的速度是v，這是從韋伯的實驗中發現的，它表示一個電磁單位中包含的靜電單位的數量。這個速度與光速非常接近，我們似乎有充分的理由得出這樣的結論： 光本身(包括輻射熱和其他輻射，如果有的話)是以波的形式透過電磁場傳播的電磁擾動。—— 占士-克拉克-麥克斯韋，【電磁場的動力學理論】（1864年），導言。
麥克斯韋方程式和哈密頓方程式非常相似，它們表明了相關量隨時間的變化率，在任何給定的時間，它們的值，在麥克斯韋方程式中，這些量是電場和磁場。但是，麥克斯韋方程式和咸美頓方程式之間有一個重要的區別。麥克斯韋方程式是場方程式，而咸美頓方程式是粒子方程式，這意味著在麥克斯韋的命題中，描述系統的狀態需要無限多的參數，而對於咸美頓的命題，需要有限的參數（三點座標）。
麥克斯韋的電磁學方程式描述了電場和磁場是如何從電荷和電流中產生的，它們如何傳播，以及它們如何相互影響。這些方程式不僅在幫助制定和解釋理論和數學物理學的多個領域方面具有重要意義，而且還與勞侖茲力一起，量化了我們在日常生活中經歷的大多數物理過程。
麥克斯韋方程式可以被認為是量子力學和現代物理學的基礎支柱之一，因為它很好地解釋了一個事實，即光的傳播不需要介質。在19世紀，理論物理學家意識到，麥克斯韋方程式有一些解決方案，其中電場和磁場可以在沒有電荷的情況下同時存在。這個解是一個振蕩的行進波，以每秒299792458米的速度移動。後來進行的一些實驗表明，光本身也以完全相同的速度移動。這不是一個巧合，它們是同一種東西。很明顯，光並不是什麽神奇的實體，我們可以透過操縱電荷來創造光。這導致了人造光源的產生，如收音機（無線電波是光的一種低能量形式）、激光和同步加速器。麥克斯韋的電磁學理論所產生的僅僅是一個想法，能量可以透過電磁波從一個地方傳輸到另一個地方，在物理學界被證明是驚人的迷人和極其發人深省的。
2008年豎立在愛丁堡喬治大街上的占士-克拉克-麥克斯韋的雕像。
