如果我突然告訴你，兩條平行線也可以相交，你會覺得不可思議。因為慣性思維認為，只有兩條不相交的直線才能叫平行線， 所以從平行線的定義就已經限定了其肯定沒有交點 。
然而科學的發展往往容易推翻一些看似絕對合理的結論。比如當初牛頓認為，重力的作用是瞬間傳遞的。但是經過愛因斯坦相對論的解析，原來重力的傳遞也是需要時間的， 重力傳遞的速度就是光速 。
所以我們熟知的平行線定理，在一些特殊情況下，也未必正確了。也許你的第一反應是，平行線是不是相交於無窮遠處。其實這種方式只是在玩文字遊戲， 因為在幾何學中，交點本身必須是可見的 。如果你說平行線相交於無窮遠處，那麽意味著你永遠看不見交點，這不就等於說平行線無交點嗎？
其實這裏我們只需切換一個固有思路，那就是不要把平行線畫在平面上，而是畫在曲面上，情況就完全不一樣了。首先要告訴大家一個事實，那就是曲面上也是有直線的。要判斷一條線到底是不是直線， 不能只看人眼的視覺效果，而是要看這條線本身的內容 。
這裏舉一個例子，我們在一張紙上畫出一條直線，此時我們當然知道，這條線是直的，但是如果我把紙折疊起來，彎曲成一個拱形，那麽從視覺上看，這條線已經變成曲線了，但是從幾何學角度來看，它依然是直線。因為並不是直線本身彎曲了，而是直線所在的平面發生了彎曲。當你重新審視直線的定義後， 你會發現，在曲面上依然存在直線。只不過這類直線在視覺效果上看不像直線而已 。
有了這個認知，我們進一步推理，曲面上為何平行線也可以相交。其實這源自於平面幾何的五個公理。我們知道，任何科學理論的建立，最開始都需要經歷一個從無到有的過程。早期的探索，必須憑借經驗和直覺先建立一些基礎的理論，然後再後續的研究過程中，不斷去檢驗這些理論的正確性，並以此為基礎繼續向前發展。
而平面幾何最早建立了5條公理。其中最後一條公理轉譯成大白話就是：平行線永遠不會相交。然而歷史上一些數學家曾經質疑過這第五公理，比如俄國的數學家羅巴切夫斯基， 他認為這第五條公理是多余的，如果去掉以後，幾何學依然成立 。借由這個推論，他終於建立了一門全新的幾何學，也就是羅氏幾何。
然而當時他將自己的成果寫成書信寄送給了當時世界上幾位數學界的重量級人物時，沒有一個人認可他的理論。而羅巴切夫斯基到死也沒能看到自己的理論進入幾何學教科書，這不可不謂是一個遺憾。最終在他死後12年，一位意大利的數學家從理論上證明了羅氏幾何的正確性。
而伴隨著曲面幾何的發展，人們再次將第五公理做了修改，從原來的過直線外一點，只能引出一條平行線，修改為，過直線外一點，一條平行線也引不出來。 如此一來，黎曼幾何就誕生了。自此，幾何學發展到這裏，才算獲得了一個完美的收官 。
也許很多人覺得，似乎平面幾何已經完全夠用了，為何要去發展其它幾何學，這不是多此一舉嗎？其實數學本身就是探索其它自然科學的工具。工具發明出來自然是為了方便人類使用。在一般情況下，平面幾何的確足夠用了，但是，是否能用，和用起來是否方便，這是兩回事。
比如，此時你如果想針對地理座標建立一套理論，用平面幾何就會出現很多麻煩的三角函數等復雜的數學符號，但是如果用曲面幾何，計算過程不僅簡潔，而且便於理解。 所以判斷一門數學理論是否正確，除了在邏輯上必須自恰外，還需要在使用過程中是否能簡化問題本身 。平行線可以相交就說明，一些看似絕對合理的結論，未必真的合理。
