文中會涉及初中的一些經典幾何模型，本文旨在引導孩子思考如何解決幾何問題，看透模型背後的東西。所以，家長看不懂模型沒關系，但思路要看明白，可以極大振幅的節約孩子的刷題時間。
老實說，我以前讀書的時候從沒聽說過啥模型，也比較反感現在一些教輔書上一堆亂七八糟的名字，什麽雞爪模型、瓜豆原理……。但想幹掉它，必須先了解它。
從探照燈模型說起
孩子放學回家說數學老師給他們布置了一道思考題：
如圖，直線AB外一點C，C到直線AB距離（CD）為定值h（ 定高 ），∠ACB為 定角α ，問啥時候線段AB的長度最小？
我也不會呀！好在有網絡，科技真是個好東西。一查，原來是定角定高模型，因為其形狀像個探照燈，所以也叫 探照燈模型 。別說，這個動態圖還真有點兒探照燈的意思。
既然是標準模型，解法當然也是現成的：
好心的老師們還做了拓展：如果一個三角形的一個角確定，由這個角的頂點向對邊引的垂線即高也確定，則此時定角所對的 邊、三角形面積或周長都有最小值 。
做完收工！孩子可以洗洗睡了。絕大多數機構的老師講到這裏也要下課了，最多再來幾道類似的習題。但我的問題來了， 你是怎麽想到要這麽做輔助線的？ 我個人認為能提出這個問題的孩子都值得大力表揚。
是呀，我怎麽就死活想不到這麽解呢？媽媽，真不是我笨，是我沒有早看到這本書（這篇文章），一個哭泣孩子配上類似的文案，是賣模型的最愛。
實際上並不是孩子刷題太少，也不是他不認真，僅僅只是對定義理解不透，不知道如何思考而已。下面我做進一步的解析，在這之前，要回顧一下角度的定義。
如何理解角度的定義
我估計不少人還停留在小學階段的定義：由一個點出發的兩條射線組成的圖形叫角。今天，我們試著重新整理一下，這個內容略微超出了9年義務教育的範圍。
高中的弧度制其實也不難理解，看下面的圖示：
這個圖說明： 角度的本質是線段長度之比 。
換句話說，角度的大小定了，線段的長度之比就定了。角度與線段之比存在一一對應關系。放在直解三角形中可能會更好理解一點，比如正切，是直角三角形對邊與鄰邊之比。角度α定了，其正切值也就定了，即對邊與鄰邊的比值定了。
看下圖可以有一個更直觀的體會，圖中三角形ABC為等腰直角三角形，M為AB的中點。
實際上上圖也是標準的12345模型的圖示，這裏不展開說了，大家只要重新整理了角度的定義就可以了，即角度是線段長之比。現在我們可以回過頭去，
再看探照燈模型
已知CD為定值h，∠ACB為定角α ，求線段AB的最小長度。
問題的關鍵在於∠ACB為定角怎麽用？
有了前面對角的定義的鋪墊，馬上想到定角對應的就是對應邊的比例是定值。再結合求AB邊最小值，以及CD定長，基本可以確定思考方向了——要麽構造圓，要麽構造直角三角形。
所以取三角形的外心O，這樣把定角∠ACB換成了圓心角∠AOE，剩下的事情就是常規計算了。 很多教輔上把這類輔助線歸結為「隱圓」，怎麽來的？定角引出來的。
一般比較優秀的孩子再找幾道同類別的題的刷一下或者看一看，這個事就結了。
但如果這篇文章只到這裏，我費那麽大勁升級角度的定義就有些不值得了。角度定義的重新整理實際上帶來我們對很多問題的全新思考，我說的是很多！
再解胡不歸模型
「胡不歸」不是人名，是「為什麽不回來」的意思。
說是一個戍邊的小夥子得到父親病重的訊息，便連夜趕回家，可當他趕到父親床前時，父親已經去世。鄉人告訴他，在彌留之際，老人不停念叨「胡不歸？胡不歸？」
這個問題引發了人們的思考，小夥子能否節省路上時間早一點兒到家？如果可以，他應該選擇怎樣的路線？這就是流傳千百年的「胡不歸問題"。個人感覺還是屈原好，流傳下來的是好吃好玩的。
如上圖，抽象一下：A是出發地，B是目的地，AC是驛道，AC上側是砂地。為了急切的回家，小夥子選擇了AB路線。但是他忽視了砂地上行走速度慢的問題，即使AB的路程更短，但比走A-C′-B路徑所花的時間更長。
怎樣選擇才能使行進的時間最短呢？
設砂地的速度為V₁，驛道上的速度為V₂，且驛道上的速度是沙地上速度的2倍(V₂=2V₁)，小夥子需要在AC上選取一點C′，再折往至B。
具體的計算我就不分析了，上圖中有簡略的步驟，網上隨便一搜一大堆。
同樣的問題，同是9年義務教育，你為什麽就這麽優秀，可以想出這麽好的解法來？
仔細想想，實際上與上面的探照燈模型一樣，只不過這裏反過來了，就是已經知道了一個角度的比值為1/2，要你把他的角度構造出來。
當然是構造直角三角形呀，與1/2對應的自然是sin30°，所以胡不歸模型 本質還是對角度的定義的理解 ， 透過比例關系，實作角度與長度的相互轉化。
再一次昇華
這一段我就不展開仔細講了，一來我不是老師，數學也不大好，講多了容易出錯。二來我都講了，既不利於孩子能力的提升，也與外面講授模型的老師無異。
簡單說說，一個是相似，我們都知道三角形相似，對應邊成比例。本質上是不是因為角相等，所以對應邊成比例？這個比例值還相等，是不是又回到前面角的定義上面了？
還有瓜豆原理，阿氏圓什麽的，多少題目中都會有定點、定角、定比例的一些關系在裏面，與上面講的內容有沒有聯系？
……歡迎大家留言探討。
最後的小結
說老實話，我從心底是討厭和抵觸各種各樣的幾何模型的。
但是現在各種瘋狂的模型輸出，確實在短時間內把一部份孩子的分數迅速提升起來（註意是分數，不是能力），其他孩子不得不或主動或被動跟隨。
學習成了刷題，學習成了各種模型的辨識和套用，不只數學，語文英文都有一堆樣版，這到底是教育還是馴化？
開學快一個月了，昨天翻孩子的數學書，居然還是全新的！老師不講，自己也沒有看。
不認真看教材最大的一個問題就是對知識點的理解不透徹，其次就是知識不成體系，是散的。這兩點最終導致的結果就是孩子無法思考，或者根本不知道如何思考。
打個不太恰當的比喻，這就好比一個戰士，你不知道自己有哪些武器及其作用（各種定義定理性質判定），或者你知道有，但你不知道它們放在哪裏了（各知識點之間的關系），你有戰鬥力可言嗎？
所以我常對孩子說，凡是想不明白或者模棱兩可的題，一定是基礎知識不熟，一定要去翻書看看相關知識點，仔細深入的思考，而不是去刷更多的題。
這裏的熟不是指會背會寫（不少孩子這一步都做不到），記下來只是最基本的要求，還要在這個基礎之上想明白內在的關系。
上面我舉的例子，就是想說明這個問題。
以上是我在教育孩子的過程中的一些思考、感想和感悟，一家之言，拋磚引玉。大家有什麽好的建議和經驗，歡迎留言討論。
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