通过前面的学习，我们知道了，定积分可以通过牛顿—莱布尼兹公式问题转换为线段两个端点的某个函数差。二重积分可以通过格林公式转换为积分区域边界线的曲线积分。三重积分可以通过高斯公式转换为积分区域边界面的曲面积分。
今天我们来学习联系曲线积分和曲面积分的—斯托克公式。
对坐标的曲线积分，如果曲线是空间曲线并且封闭，则它可张成一个曲面，可进行对坐标的曲面积分。两者就产生了联系，而联系它们的就是斯托克斯公式。
对坐标的曲线积分和曲面积分中，曲线和曲面都是有向的。建立曲线积分和曲面积分的关系之前，需要引入右手规则。
右手规则：设Γ是分段光滑的有向闭曲线，Σ是以Γ为边界的分片光滑的有向曲面。当右手除拇指外的四指依Γ的方向绕行时，拇指的指向与Σ的法线方向相同，则称Γ是有向曲面Σ的正向边界曲线。如下图：
斯托克斯公式：设Γ是分段光滑的有向闭曲线，Σ是以Γ为边界的分片光滑的有向曲面。Σ的侧与Γ的正向符合右手规则，P，Q，R在包含Σ在内的一个空间区域内具有连续一阶偏导数，如上图。则有：
此式称为斯托克斯公式。
下面给出斯托克斯公式的推导过程:
由于P，Q，R是不相关的，这里只证明与函数P相关的信息，其余的可类似证明。
（1）设曲面Σ与平行z轴的直线相交不多于一点，方向取为上侧，如上图。其方程为：
根据两类曲面积分的关系可得：
其中：
根据一代二投三定向的步骤及多元函数链式法则：
再将曲线Γ投影到xoy面为L，如下图：
根据格林公式可得：
如果Σ取下侧，曲线Γ也相应地改成相反方向，上式的两端同时改变符号，因此上式仍然成立。
（2）进一步地，若曲面Σ与平行于z轴的直线的交点多于一个，则可以添加一些辅助曲线分成几部分，然后利用前面的公式计算并相加。因为沿辅助曲线而方向相反的两个曲线积分相加时正好抵消，公式仍然成立。
同理可证其它两项表示式，因此证得斯托克斯公式成立。
为便于记忆，斯托克斯公式还可记作：
或用第一类曲面积分表示：
特别地，若Σ是xoy面上的一块平面区域，则斯托克斯公式就是格林公式，故格林公式是它的一个特例。
下面通过一个例子加深理解。求对坐标的曲线积分
其中曲线Γ为平面x+y+z=1被三坐标面所截三角形的整个边界，方向如图所示。
解：记三角形域为Σ，方向取上侧。根据斯托克斯公式可得：
希望本文对你学习斯托克斯公式有所帮助。
