数学，这门学科自幼我们就开始接触。在90后们的小学记忆里，数学和语文齐头并进，占据着同等重要的位置。后者是日常生活中不可或缺的沟通工具，而前者则是思维逻辑的基石。
我们或许对数的概念的起源不甚了解。甚至连数学是文明的产物还是人类意识中固有的逻辑基础这一问题都无从得知。
我们所知的最早的数学工具应用记录来自于结绳计数。这种方法传递出简单而直接的数学信息。
人类最初对自然界总持有一种古朴的理解。例如，人是被神所创造，天地有方有圆，物质可以无限分割。这些朴素的观念在数学领域中便反映为对整数的朴素观念。
古代的人们倾向于认为整数可以代表自然界的一切。直到毕达哥拉斯学派揭示了直角三角形的勾股关系，人们才开始认识到数字世界里不曾预见的变革。
以一个边长为1的等腰直角三角形为例，其斜边长度为根号2，但当我们试图精确计算这个数值时，却发现它似乎无限延伸，永无止境。根号2成为人类认知的第一个无理数。
在毕达哥拉斯之前，古希腊的哲学家们相信整数体现了自然界的和谐与秩序。根号2的出现打破了这种简洁的美感。
此后，数学家们开始研究无理数，挣脱了整数的束缚。对无理数的研究还引领人类思考了无限的概念。例如，将一条线段无限细分，总会出现无理数长度的段落。
在这期间，芝诺提出了著名的四大悖论，即芝诺悖论。
其中最著名的便是芝诺的乌龟悖论。按照芝诺的理论，你永远追不上一只乌龟，哪怕你是世界最快的运动员。因为你在追乌龟的过程中总得先经过乌龟前进路程的一半，而当你追上这一半时，乌龟已经又前进了一段。你永远陷入追赶乌龟路程一半的困境中。
但这一结论与现实明显相悖。正因如此，悖论的出现迫使人类深入思考无穷的概念和意义。
今日我们很容易就能看清芝诺悖论的漏洞：对线段的无限二分需要无限的时间，而运动员拥有的时间是有限的，因此不能在有限时间内完成无限的行动，从而避免了追击乌龟时的逻辑困境。
对无理数和无穷概念的深入理解化解了第一次数学危机，开启了新的数学研究领域。
微积分的出现是牛顿和莱布尼茨的伟大贡献。借助微积分，人们可以解决很多前所未有的复杂问题，如精确计算不规则土地面积和曲线长度等。
微积分的核心思想是无限细分再整合。它常常涉及到无限逼近的概念。例如，在某点处的曲线斜率可以通过一个直角三角形来逼近，而三角形斜边的斜率就是曲线在该点的切线斜率。
然而，牛顿时代的人们并未完全理解微分、积分和导数的真正含义。
以求曲线某点切线斜率为例，可以在该点附近取一个直角三角形，其边长无限小，并用三角形的斜边斜率代替切线斜率。当时人们认为，即便直角三角形的边长再小，其比值也仅是三角形斜边的斜率，而非切线斜率。
实际上，牛顿时代的人们没有意识到导数和微分的区别。一个无限逼近的直角三角形斜边斜率，就是曲线在某点的切线斜率。就如同无限小量最终会逼近0，我们真正追求的并非无限小量本身，而是那个0。同样地，我们追求的并非直角三角形斜边无限逼近某一数值的斜率，而是曲线在某点的切线斜率。而我们清楚，直角三角形斜边的极限无限逼近一个数值，同样地，曲线在某点的切线斜率也无限逼近这个数值，因此我们可以断定，曲线在该点的切线斜率便是直角三角形斜边无限逼近的那个数值。
举个例子，有两位富豪甲和乙。我们知道乙的资产，但甲的资产则是个未知数。甲说乙的资产总是无限逼近他的，但永远达不到。乙说他的资产难计算，大概有9999万99999999....元，即无限逼近一亿。那么我们可以断定，甲的资产便是一亿。
第二次数学危机的根源在于对微积分的理解偏差。
第二次数学危机到第三次数学危机的间隔约有200年。
第三次数学危机源自对集合论的质疑，始于1897年福尔蒂发现的集合论悖论，以及康托尔和罗素各自提出的悖论。罗素悖论尤其著名。在这个悖论中，一位自称手艺精湛的理发师在招牌上写道：「我只为所有不给自己理发的人理发」。那么，他会给自己理发吗？如果他理了，就违背了招牌上的宣言；如果他不理，那么他也违背了自己的宣言。
许多人认为罗素悖论只是对集合定义的诡辩，但至今无人能完美解决这一问题。
罗素悖论像哲学的本体论，区分了唯心主义和唯物主义。如果我们从本体论的角度解读罗素悖论，会发现其中的矛盾和困惑。
如果我们是主观唯心主义者，会认为世界只是意识的产物，那么「我」的概念是否也是意识的虚构？如果是，那么「我对我概念的质疑」是否也是虚构的？这样的质疑不断递归，最终我们可能对意识的主动性产生质疑，不知道意识本体何在。那么你的意识到底存在吗？如果你的意识存在，请解释之前的矛盾。如果你的意识不存在，那么世界就不是你所宣称的唯心主义了，这与你最初的唯心主义宣言相悖。
罗素悖论就如同此，总在尝试将自己置身事外，但换个角度看，自己却又处于事物之中。那么，我们到底在事物之中还是之外？
