文中会涉及初中的一些经典几何模型，本文旨在引导孩子思考如何解决几何问题，看透模型背后的东西。所以，家长看不懂模型没关系，但思路要看明白，可以极大幅度的节约孩子的刷题时间。
老实说，我以前读书的时候从没听说过啥模型，也比较反感现在一些教辅书上一堆乱七八糟的名字，什么鸡爪模型、瓜豆原理……。但想干掉它，必须先了解它。
从探照灯模型说起
孩子放学回家说数学老师给他们布置了一道思考题：
如图，直线AB外一点C，C到直线AB距离（CD）为定值h（ 定高 ），∠ACB为 定角α ，问啥时候线段AB的长度最小？
我也不会呀！好在有网络，科技真是个好东西。一查，原来是定角定高模型，因为其形状像个探照灯，所以也叫 探照灯模型 。别说，这个动态图还真有点儿探照灯的意思。
既然是标准模型，解法当然也是现成的：
好心的老师们还做了拓展：如果一个三角形的一个角确定，由这个角的顶点向对边引的垂线即高也确定，则此时定角所对的 边、三角形面积或周长都有最小值 。
做完收工！孩子可以洗洗睡了。绝大多数机构的老师讲到这里也要下课了，最多再来几道类似的习题。但我的问题来了， 你是怎么想到要这么做辅助线的？ 我个人认为能提出这个问题的孩子都值得大力表扬。
是呀，我怎么就死活想不到这么解呢？妈妈，真不是我笨，是我没有早看到这本书（这篇文章），一个哭泣孩子配上类似的文案，是卖模型的最爱。
实际上并不是孩子刷题太少，也不是他不认真，仅仅只是对定义理解不透，不知道如何思考而已。下面我做进一步的解析，在这之前，要回顾一下角度的定义。
如何理解角度的定义
我估计不少人还停留在小学阶段的定义：由一个点出发的两条射线组成的图形叫角。今天，我们试着刷新一下，这个内容略微超出了9年义务教育的范围。
高中的弧度制其实也不难理解，看下面的图示：
这个图说明： 角度的本质是线段长度之比 。
换句话说，角度的大小定了，线段的长度之比就定了。角度与线段之比存在一一对应关系。放在直解三角形中可能会更好理解一点，比如正切，是直角三角形对边与邻边之比。角度α定了，其正切值也就定了，即对边与邻边的比值定了。
看下图可以有一个更直观的体会，图中三角形ABC为等腰直角三角形，M为AB的中点。
实际上上图也是标准的12345模型的图示，这里不展开说了，大家只要刷新了角度的定义就可以了，即角度是线段长之比。现在我们可以回过头去，
再看探照灯模型
已知CD为定值h，∠ACB为定角α ，求线段AB的最小长度。
问题的关键在于∠ACB为定角怎么用？
有了前面对角的定义的铺垫，马上想到定角对应的就是对应边的比例是定值。再结合求AB边最小值，以及CD定长，基本可以确定思考方向了——要么构造圆，要么构造直角三角形。
所以取三角形的外心O，这样把定角∠ACB换成了圆心角∠AOE，剩下的事情就是常规计算了。 很多教辅上把这类辅助线归结为「隐圆」，怎么来的？定角引出来的。
一般比较优秀的孩子再找几道同类型的题的刷一下或者看一看，这个事就结了。
但如果这篇文章只到这里，我费那么大劲升级角度的定义就有些不值得了。角度定义的刷新实际上带来我们对很多问题的全新思考，我说的是很多！
再解胡不归模型
「胡不归」不是人名，是「为什么不回来」的意思。
说是一个戍边的小伙子得到父亲病重的消息，便连夜赶回家，可当他赶到父亲床前时，父亲已经去世。乡人告诉他，在弥留之际，老人不停念叨「胡不归？胡不归？」
这个问题引发了人们的思考，小伙子能否节省路上时间早一点儿到家？如果可以，他应该选择怎样的路线？这就是流传千百年的「胡不归问题"。个人感觉还是屈原好，流传下来的是好吃好玩的。
如上图，抽象一下：A是出发地，B是目的地，AC是驿道，AC上侧是砂地。为了急切的回家，小伙子选择了AB路线。但是他忽视了砂地上行走速度慢的问题，即使AB的路程更短，但比走A-C′-B路径所花的时间更长。
怎样选择才能使行进的时间最短呢？
设砂地的速度为V₁，驿道上的速度为V₂，且驿道上的速度是沙地上速度的2倍(V₂=2V₁)，小伙子需要在AC上选取一点C′，再折往至B。
具体的计算我就不分析了，上图中有简略的步骤，网上随便一搜一大堆。
同样的问题，同是9年义务教育，你为什么就这么优秀，可以想出这么好的解法来？
仔细想想，实际上与上面的探照灯模型一样，只不过这里反过来了，就是已经知道了一个角度的比值为1/2，要你把他的角度构造出来。
当然是构造直角三角形呀，与1/2对应的自然是sin30°，所以胡不归模型 本质还是对角度的定义的理解 ， 通过比例关系，实现角度与长度的相互转化。
再一次升华
这一段我就不展开仔细讲了，一来我不是老师，数学也不大好，讲多了容易出错。二来我都讲了，既不利于孩子能力的提升，也与外面讲授模型的老师无异。
简单说说，一个是相似，我们都知道三角形相似，对应边成比例。本质上是不是因为角相等，所以对应边成比例？这个比例值还相等，是不是又回到前面角的定义上面了？
还有瓜豆原理，阿氏圆什么的，多少题目中都会有定点、定角、定比例的一些关系在里面，与上面讲的内容有没有联系？
……欢迎大家留言探讨。
最后的小结
说老实话，我从心底是讨厌和抵触各种各样的几何模型的。
但是现在各种疯狂的模型输出，确实在短时间内把一部分孩子的分数迅速提升起来（注意是分数，不是能力），其他孩子不得不或主动或被动跟随。
学习成了刷题，学习成了各种模型的识别和套用，不只数学，语文英文都有一堆模板，这到底是教育还是驯化？
开学快一个月了，昨天翻孩子的数学书，居然还是全新的！老师不讲，自己也没有看。
不认真看教材最大的一个问题就是对知识点的理解不透彻，其次就是知识不成体系，是散的。这两点最终导致的结果就是孩子无法思考，或者根本不知道如何思考。
打个不太恰当的比喻，这就好比一个战士，你不知道自己有哪些武器及其作用（各种定义定理性质判定），或者你知道有，但你不知道它们放在哪里了（各知识点之间的关系），你有战斗力可言吗？
所以我常对孩子说，凡是想不明白或者模棱两可的题，一定是基础知识不熟，一定要去翻书看看相关知识点，仔细深入的思考，而不是去刷更多的题。
这里的熟不是指会背会写（不少孩子这一步都做不到），记下来只是最基本的要求，还要在这个基础之上想明白内在的关系。
上面我举的例子，就是想说明这个问题。
以上是我在教育孩子的过程中的一些思考、感想和感悟，一家之言，抛砖引玉。大家有什么好的建议和经验，欢迎留言讨论。
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