第三章 一次函数
在第二章里，我们曾经看到过象
W =7.8V, y =0.6x,
之类的函数．这些函数的共同特点是等号右边的式子都是自变量的一次式。通常我们把具有这种特点的函数叫做关于这个自变量的 一次函数 。它是函数中最简单的一类。这一章里，我们将研究这类函数。
§3.1函数 y = kx ( k ≠0)
1．正比例关系 我们来考察§2.1里举过的铁的重量 W 和它的体积V之间的函数关系：
W =7.8V,
这里7.8是每立方厘米的铁块重量的克数．
如果令铁的体积分别是1立方厘米，2立方厘米，3立方厘米，……就可以算出和它对应的重量如下表：
表格
这里我们看到：当体积 V 扩大（或者缩小）若干倍的时候，重量 W 也随着扩大（或者缩小）相同的倍数．在算术里，我们已经知道具有这样性质的两个量，叫做 成正比例关系的量 ．
从这个表里，我们还可以看到： W 的任何一个数值和它所对应的 V 的数值的比，是一个常数．例如
一般地，我们有
这里常数7.8叫做变量 W 和 V 间的比例系数。
因为在算术里，我们所学过的数只有正数和零，所以当时所研究的成正比例的量的比例系数都是正数．现在，我们已学习了负数，需要把算术里学过的成正比例的量的定义加以推广。
我们来看下面的例子：
一列火车，以每小时40公里的速度，自东向西行驶，在中午到达甲站。求在中午以前½小时，1小时，3/2小时，以及中午以后½小时，1小时，3/2小时，火车离开甲站的距离．
我们把自西向东的方向作为正的方向（图3·1)，那末这列火车行驶的速度可以记作
v =-40公里／小时。
图3.1
设在中午后 t 小时（在中午以前， t 用负数表示；中午以后， t 用正数表示）火车离开甲站 s 公里（在甲站以东， s 是正数；在甲站以西， s 是负数）。那末可得 s 和 t 之间的函数关系
s =-40t.
这样就得到下面的表：
表格
这里，我们也可以看到 s 的每一个值和它对应的 t 的值的比是一个常数，就是
我们也把变量 s 和 t 之间的这种关系叫做正比例关系，把这个常数"-40"叫做 s 和 t 之间的比例系数．
一般地说：
两个变量 y 和x间的函数关系，如果能用公式
y = kx（这里 k 是一个不等于零的常量）
来表示，那末这两个变量间的函数关系就叫做正比例关系， k 叫做比例系数。
习题3.1(1)
1．下列各种关系里，哪些是正比例关系？为什么？
(1）正方形的周长 p 和它的一边的长 a ;
(2）正方形的面积A和它的一边的长 a ;
(3）圆的周长 C 和它的直径 d ;
(4）圆的面积 A 和它的直径 d ;
(5）速度 v 一定的时候，所走的距离 s 和所需的时间 t ;
(6）时间 t 一定的时候，运动的速度 v 和所走的距离 s;
(7）距离 s 一定的时候，运动的速度 v 和所需的时间 t ；
(8）比重 d 一定的时候，物体的重量 W 和它的体积 V ;
(9）体积 V 一定的时候，物体的重量 W 和它的比重 d ;
(10）重量 W 一定的时候，物体的体积 V 和它的比重 d .
2．把上面这些关系中，成正比例关系的写成 y = f ( x ）的形式，并求出每一个关系中的比例系数．
3．把汽油用均匀的速度注入桶里。注入的时间和注入的油量如下表：
表格
(1）从表里的数据，证明 q 与 t 之间成正比例关系；
(2）求比例系数（q/t)；
(3）用解析法表示出 q与 t （把 t 作为自变量）之间的函数关系；
(4）求 t =1.5, 4.5时 q 的对应值．
2．函数 y = kx 的图象 我们先来作下面这两个函数的图象：
(1) y =2x, (2)y=-2x
用§2.7里讲过的方法，我们先选择一些x的值，列成下表：
表格
把表里的每一组 x , y 的对应值作为点的坐标，在直角坐标系里作出这些点，并且用平滑的线连接起来，就得到图3.2和图3.3.
从图里可以看到这两个函数的图象都是通过原点的直线.在(1)中这条直线在第一第三象限并且通过点(1,2) ；在(2)中这条直线在第二和第四象限并且通过点(1,-2).
一般地,我们可以证明:
一次函数y= kk (x≠0)的图象是一条通过原点和和点(1,k)的直线.
*证明应该分成两个方面.一方面要证明过O(0,0)和 N (1,k)的直线上的点都在函数y= kx 的图象上;这也就是要证明,直线 ON上的每一点 M 的横坐标x和纵坐标 y 间都有y= kx的关系。
另一方面还要证明,函数y=kx 的图象上所有的点都在直线 ON 上,这就是要证明，如果一个点的坐标(x ,y)有y=kx的关系,这个点就在直线 ON 上.下面我们对k是正数的情形来加以证明.(当 k 是负数时,可以同样地证明,证明留给读者.)
【证明】过原点O(0,0)和点 N (1,k)作直线ON(图3.4).
(1)首先我们证明直线ON上的点都在函数y= kx 的图象上.
图3.4
因为原点 O( 0 ,0）的横坐标 x 和纵坐标 y 之间有
0= k·0
的关系。所以原点 O 在函数 y =kx 的图象上。同样地，因为k=k·1,所以点 N (1, k ）也在函数 y=kx的图象上。
现在设点 M ( x , y ）是直线 ON 上的任意一点。过点 N 和 M 分别作 y 轴的平行线 NR 和 MQ 交 x 轴于 R 和 Q ．因为在直角三角形 ONR 和 OMQ 中，有一对锐角
∠NOR =<∠MOQ ,
∴△ONR ∽△OMQ .
这里 RN 就是点 N 的纵坐标 k , OR 就是点 N 的横坐标1; QM 就是点 M 的纵坐标 y , OQ 就是点 M 的横坐标 x 。代入上面这个等式，就得到
就是
y = kx .
这就证明了直线 ON 上任意的点的横坐标 x 和纵坐标 y 间都有 y = kx 的关系，因此这些点都在函数 y = kx 的图象上。
(2）其次，我们证明函数y=kx 的图象上的每一个点都在直线 ON上．
设点 P ( x , y ）是函数 y = kx 的图象上的任意一点，那末点 P 的纵坐标 y 和横坐标x 之间有
y = kx
的关系．
过点 P 作平行于 y 轴的直线交 x 轴于 T ，交直线 ON 于 V ①（图3.5)。那末因为点 V 在直线ON上，所以它的纵坐标 TV和横坐标OT间有
①这里我们应用了间接证法。先不考虑点 P 是不是在直线 ON 上，故意把它不画在直线 ON 上，而在直线上找出另一点 V ，然后再证明点 P 和点 V ー定重合。
图3.5
TV=k·OT
的关系．
但是，我们已经知道，点 P 的纵坐标 y(就是TP)和横坐标x(就是OT)之间有
y = kx ,
就是
TP= k·OT
的关系。因此
TP=TV .
所以，点 P 一定和点 V 重合，也就是说，点 P 在直线 ON 上。这就证明了函数y=kx的图象上的任意一个点都在直线 ON 上。
函数y=kx的图象，以后简称为直线 y=kx .
例1.作函数 y=½x 的图象。
【解】列表：
表格
作图：
图3.6
注 要画出一条直线，只要找到直线上的任意两点就可以了。为了使画出的图精确些，我们所取的两个点要使它离开得远一些，所以这里我们取（4,2）这个点，而不是取1,½）这个点.
习题3.1(2)
1．用描点法作出习题3.1(1）里第3题函数 q = f ( t ）的图象。
2．在同一坐标系里作函数
(1) y = ½x ; (2) y = x ;
(3) y =2x; (4) y =-½x
(5) y =- x ; (6) y =-2x
的图象。
3．一个物体以每小时3公里的速度作匀速运动，
(1）把这个物体在 t 小时内所经过的路程s公里用公式表示出来；
(2）填写下面的表:
表格
(3）根据表里的数值，画出这个物体运动的路程和时间的关系的图象；
(4）根据图象找出 t =1½， t =3½时 s 的值；
(5）根据图象找出 s =27, s=10时 t 的值。
*4．证明，当 k <0的时候，函数 y=kx 的图象是经过原点，并且在第二和四象限的一条直线。
3．函数 y = kx 的性质
观察图3.2和图3.3，容易发现函数 y = kx 有下面的重要性质：
(1）如果k >0,那末当自变量 x 逐渐增大时，函数 y 的值也随着逐渐增大；这时我们说函数 y=kx 是 上升 的；
(2）如果 k<0，那末当自变量x逐渐增大时，函数的值则随着逐渐减小，这时我们说函数y= kx是 下降 的．
4．直线 y = kx 的斜率和倾角
现在我们来研究当比例系数 k 变化的时候，直线 y = kx 的位置怎样变化．
例2．在同一个直角坐标系里，作下面三个函数：
(1) y =½
(2) y = x ;
(3) y=2x
的图象．
【解】在习题3.1(2）里，我们曾经作出这些函数的图象（图3.7).
从这个例子可以看到，当 k >0的时候，按照比例系数的逐渐增加，直线就逐渐离开x轴而接近 y 轴．这时直线y=kx的正方向①和 x 轴的正方向所成的角α在逐渐增大(α₁<α₂<α₃).
例3．在同一直角坐标系里，作下面三个函数。
(1) y =-½x;
(2) y=-x ;
(3)y=-2x
的图象．
【解】在习题3.1(2）里，我们曾作出过这些函数的图象（图3.8).
从这个例子可以看到，当k<0的时候，按照比例系数的绝对值的逐渐增加，直线y=kx也逐渐离开 x 轴而接近 y 轴。但是这时x轴的正方向和直线y=kx 的正方向所成的角α却在逐渐减小（α₁>α₂>α₃) .
从上面这两个例子可以看到，直线 y = kx的位置，和它的比例系数 k 有关。我们把 k 叫做直线 y = kx 的 斜率 ，并且把x轴的正方向和直线 y = kx的正方向所成的角α ，叫做直线 y =kx的 倾角 。
图3.9
①直线 y=kx( k≠0）的正方向指的是向上的方向。
＊利用三角学中的知识，我们可以证明
k = tan α .
【证明】设 N ( x , y ）是直线 y = kx 上的任意一点， x轴的正方向和直线向上方向所成的角是α（图3.9).
根据三角学中正切函数的定义，得到
tan α =y/x (1)
但是， N 在直线 y = kx 上，所以有
y/x=k. (2)
从(1)和(2)得
tan α = k .
习题3.1(3)
1.(1）求下列各直线的斜率
(2）在同一坐标系里作出这些直线；
(3）根据斜率的变化，说明直线位置的变化；
(4）根据图象说明当自变量 x 从小增大的时候，函数值的变化情况；
(5）当 k >0的时候，函数上升的速度和 k 的值的大小有什么关系？
［提示：从图象上研究，当自变量增加同一数值的时候，函数
所对应的值，哪一个增加得多一些。增加得多的，就说这个函数上升的速度较快．]
(6）当k< 0 的时候，函数下降的速度和 k 的绝对值的大小有什么关系？
*2．求上题中这四条直线的正方向与x轴的正方向所成的角(精确到1°)①
①如果没有学过三角，本题可以暂时不做；如果只学过锐角的三角函数，那么可以只做k>0的时候的两个小题。
上期链接：https://m.toutiao.com/is/iNygsUFT/ - 名师彻底讲透初等函数(7)函数图象的绘制 - 今日头条
下期预告：§3.2 函数y=kx+b(k≠0)
科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。
