运用初等数学知识求解椭圆的极线方程 ，是对数学思维和计算的一个比较综合的考察，是对信心和勇气的一个挑战。
本文大致对应视频【广义对称！超详细分析和求解椭圆的极线方程】的主要内容，以便对照阅读。
在本文中，我们将推导出 点P(x 0 ,y 0 )关于椭圆 :x²/a²+y²/b²=1的极线方程 。
如果您对椭圆的极点极线定义还不是很清楚，那么您可以看看视频【如此清晰！椭圆极点极线的定义和运动】。
一、分析
- 初步观察参考图形
图1 椭圆极线的作法
它含有多条直线、成对直线的交点以及多个三点共线，而且部分线&点之间有依赖关系。我们通过回答一些小问题来做个初步整理。
问：图形中的点和线，哪些是定的，哪些是动的？
答：所给的椭圆是固定的，其他图形元素是运动的。
问：动的点和线中，哪些是主动的？哪些是从动的？
答：点P和由点P引出的两条割线是主动的，其他点和线是从动的。
- 根据广义对称的观点进一步观察参考图形
问：哪些直线的地位相等？哪些点的地位相等？
答：
①割线PU和PV(即直线EF和GH)的地位相等；
②点E、F、G和H的地位相等；
③直线EG、FH、EH和FG的地位相等；
④直线EG与FH的交点M，与，直线EH与FG的交点N，它们的地位相等；
问：如果不考虑主动或从动因素呢？
答：
⑤直线EF、GH、EG、FH、EH和FG的地位相等；
⑥点P、M和N的地位相等；
⑦直线MN、PN、和PN的地位相等。
- 怎样运用广义对称
只需 做对应的参数替换 ，即可：
从一个点的坐标得到与之地位相等的点的坐标；
从一条直线的方程得到与之地位相等的直线的方程。
这些体现在解题过程中的 话术 ，通常就是「 同理可得 」之类。
- 尝试给出一个求解思路
（1）点P关于椭圆Γ的极线，仅与点P及椭圆Γ有关，而与所引的两条割线无关；换句话说，极线方程中很可能包含x 0 、y 0 、a和b；所引的两条割线是辅助线，最终结果与之无关，引入的其他参数要消去。
「硬算」 直线MN的方程，可以通过以下步骤实现：
1)设E、F、G、H四点的坐标和割线PEF、PGH的方程；
2)分别求出直线EG、FH、EH和FG的方程并化简；
3)求出直线MN的方程。
显然此思路的计算量是比较大的。
（2）如何减少计算量呢？
1）如何设/求四点E、F、G、H的坐标，割线PEF、PGH的方程，并利用E、F、G、H四点在椭圆上？
这里仅列举两个常规方案。
常规方案1. ( 线-点-方程组消元 )其包含以下步骤
①设割线PEF、PGH的直线方程(如点斜式)；
②设点E、F、G、H的坐标，并分别用其横(纵)坐标表示纵(横)坐标；
③根据点E、F、G、H的坐标满足椭圆的方程列方程组，并用点E(F)、G(H)的坐标表示点F(E)、H(G)的坐标，即消元(消参)。
此方案的难点在于步骤③之消元(消参)。
常规方案2. ( 点-线-方程组消元 )其包含以下步骤
①利用三角函数及万能公式推导出椭圆的参数方程；
②根据椭圆的参数方程设E、F、G、H的坐标，这意味着已经利用了这四点在椭圆上；
③根据点的坐标列出相关6条直线的方程，尤其是割线PEF、PGH的方程，并化简；
④根据点P分别在直线EF、GH上，用点E(F)、G(H)的坐标表示点F(E)、H(G)的坐标，即消元(消参)。
此方案的难点在于步骤③之化简及步骤④之消元(消参)。
2）如何利用直线EG、FH、EH、FG的方程求直线MN的方程？
这里也仅列举两个常规方案.
常规方案1. 分别求出点M和点N的坐标并化简，从而求出直线MN的方程。
常规方案2. 用直线EG、FH生成的 直线族 ，导出点M应满足的特征；再根据对称性，同理导出点N应满足的特征；从而得到直线MN的方程。
本文中接下来的解答部分都采用常规方案2。
二、解答
图2 使用椭圆的参数方程设点的坐标并求出一条割线的方程
图3 求出其他直线的带参数方程并部分消参
图4 消参求出极线方程
三、回顾与练习
- 极线方程的形式
我们观察一下这个极线方程，它 融入了极点的信息，同时又非常类似原椭圆方程的形式，即仅仅把x²、y²分别换成了x 0 x、y 0 y ，极易记忆。
- 求极点
因为极点和极线是成对的，所以根据椭圆方程和极线方程可以得到极点的坐标。
- 消元(消参)方法
求点M的特征时，我们首先消去了参数t3、t2，其利用了三点共线；然后消去了参数t1、t4，其利用了直线族，加减消元(消参)。
- 写作本文和制作对应视频的目的
（1）展示围绕求解极线方程所做的观察和思考。
（2）展示其中包含的大量代数式化简和因式分解计算。
这让我们相信，为了在遇到类似需要大量计算的问题时保持信心和勇气，进行相关限时训练并积累一些常用的操作方法，是必要的。
- 练习
猜想并证明 点P(x 0 ,y 0 )关于双曲线 :x²/a²-y²/b²=1的极线方程 。
您对广义对称观点的运用是否有了更深的体会？本文中的分析对你提升思维素质有没有帮助？
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