關於黑洞內部的理論探索一直是物理學研究的重要方向。其中一個難以回答的問題即是奇異點是否真正存在。盡管潘洛斯和霍金基於經典重力得到了奇異點定理，證實了黑洞的奇異性。但奇異點的定義不僅僅只有一種，為了探討黑洞理論的這一核心問題，近期黑洞研究先驅克爾（Roy Kerr）發文表示——奇異點不存在。他為什麽會得出這個結論？
撰文 | 安宇森 （南京航空航天大學物理學院）
仰望宇宙，瑰麗的星空令人神往，但美麗的同時往往也蘊藏著危險，其中最危險神秘的區域莫過於黑洞。
愛因史坦1915年提出的廣義相對論革新了人們的時空觀念。廣義相對論的提出標誌著，時空並不是一成不變的舞台，而是會因舞台上的觀眾——時空中的物質——而扭曲，這一作用可以透過求解運動方程式 （即愛因史坦方程式） 進行刻畫。一般來說，愛因史坦方程式是極難求解的，但是物理學家總可以找到各種具有良好對稱性的情況，以此作為理想模型來開展研究。1916年，史瓦西 （Karl Schwarzschild） 在一戰的戰壕中就得到著名的、以他名字命名的解，稱為史瓦西度規：
史瓦西度規既可以作為恒星外部的時空解，也可以作為一個球對稱黑洞解。觀察這個度規，可以明顯地看出存在兩個特殊的位置，r=2M和r=0，在這兩個位置處，度規（1）會發散。對於這兩個發散的理解困擾了物理學家很多年。人們最終發現，這兩個發散位置實際上對應黑洞最重要的兩個特征：事件視界和奇異點。對它們的理解，是黑洞物理研究最重要的組成部份。
在介紹黑洞這兩個特征之前，我們先來回顧一下黑洞這一概念的形成。20世紀30年代，歐本海默 （J. Robert Oppenheimer） 和錢德拉塞卡 （Subrahmanyan Chandrasekhar） 等人對恒星燃盡後的重力塌縮問題進行了深入思考，他們計算發現，當星體品質足夠大的時候，理論上並不存在足夠的排斥力可以阻礙重力塌縮。因此他們大膽預言重力塌縮不會停止，最終恒星會變得極其致密，進而使得周圍的時空高度扭曲，形成黑洞。這一觀點在當時受到了諸多質疑，更多人相信，這一預測或許只是因為理論模型的過度簡化所致，現實中會存在某種人們還未理解的機制使得塌縮停止，因此黑洞並不是真實的物理實在。
直至今日，關於重力塌縮末期的物理還未得到徹底理解，重力塌縮最終得到的奇異點問題仍然困惑著物理學家。然而，對於黑洞的存在，已在當前的重力波觀測中得到了很強的證據。不僅如此，前幾年人們還拍攝了黑洞的照片。這些進展無不揭示著，我們的宇宙中真的存在這樣一個神秘的天體。
圖1 第一張黑洞照片丨圖源：Event Horizon Telescope Collaboration
黑洞視界
我們首先來介紹黑洞的兩個重要特征之一——事件視界。以史瓦西黑洞為例，對於事件視界，即史瓦西解中r=2M的位置，人們發現度規解中看上去會出現發散，僅僅是由於我們選擇座標的問題。如果我們不選擇t, r, θ, φ這一座標，在其他特殊座標系下發散便不會出現。
視界的物理特征是由於時空高度扭曲而出現的時空座標互換。可以很容易地看出，當穿過事件視界，即從r＞2M到r＜2M的時候，原本外部的時間座標t到視界內部會變為空間座標，原本的徑向空間方向r則會變為時間方向，這一特點是黑洞的本質特點。即使黑洞的外部是不隨時間變化的靜態時空，黑洞內部也會因為時空座標的互換不再具有靜態性質。
視界的另一物理特征是，處在視界內部的光線，無論是向內還是向外發射的，最終都會匯聚。因此沒有任何物質進入黑洞後可以逃脫，就連光也無法幸免。它就像一只饕餮，貪婪地吞噬著周圍的一切，這也是黑洞名字的由來。
以上討論是基於史瓦西解來認識黑洞視界和黑洞內部的物理。在史瓦西黑洞出現不久，人們透過假設黑洞外面具有電磁場，構造了帶電球對稱黑洞，即R-N黑洞。很長一段時間內，求解愛因史坦場方程式都需要球對稱性的幫助。重要的進展發生於1963年，這一年克爾 （Roy Kerr） 發現了以他名字命名的Kerr黑洞 [1] ，這個黑洞度規具有更少的對稱性 （只有軸對稱性） ，因此可以描述具有自轉的黑洞。
R-N黑洞和Kerr黑洞在事件視界內部與史瓦西黑洞具有本質不同。以下主要依據Kerr黑洞，來介紹其具有的一些物理特點。
Kerr黑洞的度規如下：
在事件視界之內，還存在一個柯西視界。內視界的存在對於黑洞內部造成了極大的影響。此時事件視界不再是物體有進無出的地方，同時內視界之內的區域時空仍然是穩態的、不隨時間演化的。
黑洞奇異點
我們再來介紹黑洞的另一個特征：奇異點。對於史瓦西黑洞，在r=0的位置，度規此時的發散是無法被任何座標變換消除的。這一點也可以透過計算一些由時空曲率組合成的純量來看，結果發現這些純量在這一點都是發散的。因為純量不依賴於座標系的選擇，因此這個發散是物理上的發散，這一 r=0 的位置叫作黑洞的奇異點。
對於Kerr黑洞，人們進一步發現它的奇異點的結構，和史瓦西黑洞具有很大的不同。首先因為內視界的存在，黑洞奇異點會從類空奇異點轉變為類時奇異點。同時，奇異點的結構也有所不同，這一點從（2）式的球座標中不容易看出，但是如果我們將之轉換為類笛卡爾座標的話，就會變得很清楚。座標變換關系如下：
如果a=0，這個座標關系就和人們頗為熟悉的直角座標到球座標系的變換相同，但因為有旋轉的存在，結果會發生一點變化。x，y，z具有如下關系：
因為旋轉的存在，對於等r面，Kerr時空也和球對稱時空有些不同。原本的球對稱時空中等r面是球面，這裏將會變為橢球面。對於r=0的奇異點位置，此時滿足條件，x ^ 2 +y ^ 2 =a ^ 2 ，z=0；當沒有旋轉的時候，奇異點位置對應為x=y=z=0；但是有旋轉之後，奇異點處x，y可以不為0，x，y平面組成的是一個半徑為a的圓。因為這個特點，Kerr黑洞奇異性出現的位置又叫作奇環。
但是，這些解析黑洞解中出現奇異點這一理論事實，並不能完全證實奇異點的存在。因為在得到這些黑洞的過程中，或多或少都選擇了特殊的對稱性。一個自然的問題是，奇異點是否只是由於對稱性所造成的幻覺呢？由於愛因史坦方程式的求解依賴對稱性，這個問題實際上並不容易回答。
上世紀六七十年代，蘇聯物理學家別林斯基 （Vladimir Belinski） 、哈拉特尼科夫 （Isaak Khalatnikov） 和栗弗席茲 （Evgeny Lifshitz） 三人，就試圖在不加對稱性的情況下討論這一奇異點形成的問題 [2] 。最終，這個問題隨著潘洛斯 （Roger Penrose） 和霍金 （Stephen Hawking） 證明奇異點定理而結束 [3] 。奇異點定理非常巧妙，潘洛斯和霍金透過測地線匯等整體微分幾何的技巧，在不求解愛因史坦方程式的基礎上，在相當一般的情況下證實了黑洞一定具有奇異性。值得一提的是，蘇聯科學家的努力也沒有白費，他們發現的BKL擬設 （以三人姓氏命名的一類奇異點模型） 簡化了黑洞類空奇異點附近的重力動力學行為，使得奇異點附近的運動方程式能夠求解。他們的工作雖然沒有排除奇異點的存在，但可以幫助人們更直觀地認識奇異點附近時空度規的變化規律。
奇異點不存在？
讀者或許會奇怪，根據我們對於奇異點的介紹，奇異點是各種時空曲率構造的純量發散的位置，既然潘洛斯都沒有真正求解愛因史坦方程式，又是如何知道曲率純量發散的呢？事實上，潘洛斯說的奇異點和我們介紹的奇異點的含義有一些微妙的區別。
關於奇異點的定義其實有兩種：一是前面提到的透過某些不依賴於座標選擇的純量的發散來定義；另一種則是透過不可延拓時空中的測地線仿射參數的有限性 （簡稱FALLs） 來刻畫。第二種奇異點的定義來自如下的直覺：對於一個正常的時空，一個粒子應該無論何時都處在時空中；如果時空中的一條曲線在某個有限的參數下突然消失於這個時空中 （並且背景時空沒有辦法進行解析延拓） ，那麽一定是由於時空本身出現了奇異點，使得這條曲線終結在了這個奇異點上。這種奇異點定義雖然抽象，但是其定義具有一般性，不依賴於具體的度規解，這一特點使得其在數學證明中非常有用。而第一種定義奇異點的方式雖然直觀，但是依賴於具體的黑洞解。這兩種定義方式差別很大，人們很難直觀地建立這兩種奇異點表述之間的關系。針對這一問題，黑洞研究先驅、馬上90周歲的克爾再次發文討論 [4] ，並提出黑洞可能不存在奇異點。
克爾在文章中指出，對於Kerr黑洞，至少存在一條FALLs並非終結於奇異點。他找到了如下一個簡單的反例，沿著Kerr黑洞的對稱軸運動的光線，其運動軌跡滿足如下方程式：
由此可以解出兩條光線，
和
於
這條光線，在內外視界位置因為徑向速度dr/dt=0，所以測地線只能處在內外視界之間的區域。此時這條類光測地線具有有限的仿射參數
（可以用r座標作為這條曲線的仿射參數） 。因此，克爾在文章中指出，他構造了一個具有有限仿射參數的測地線，但顯然它並沒有與任何具有曲率奇異性的地方相交。由此克爾指出潘洛斯證明的奇異點定理可能是不完整的，雖然潘洛斯的證明指出在很一般的條件下FALLs一定會出現，但是這並不意味著奇異點一定會出現。
圖2 Kerr所提到的反例是綠色的測地線，然而其所用到的座標系只覆蓋了灰色區域，這部份區域並非完整的時空，而是可以被延拓到更大的Kruskal時空（即包含白色部份）。
而針對黑洞內部具體的物理影像，他則提議，由於內視界之內還是穩態時空，因此內視界之內可以存在某種星體 （如中子星） 來代替Kerr黑洞中出現的奇異環。這個星體的度規和外面的Kerr黑洞連線構成真實的物理影像。換句話說，奇異環僅僅只是作為真實的非奇異星體的一個理想近似。
對於克爾的結論，目前仍有一些問題值得探討。首先在他尋找到的反例之中，所用到的座標系並沒有覆蓋整個時空，因此，這一部份座標系所覆蓋的區域並非表示一個不可延拓的時空。此外，克爾尋找到的測地線並非完整的測地線。至少在數學解的意義上研究奇異點定理時，探討奇異點是否存在需要保證背景時空是不可延拓的，所以他尋找的反例是否構成一個破壞潘洛斯奇異點定理的反例有待討論。
其次，即便數學解的解析延拓給出的時空結構可能並非物理上真即時空的樣子，考慮真即時空的物理影像或許也與克爾提出的想法有一定的偏差。在克爾的提議中，無論是尋找到破壞奇異點定理的反例，還是黑洞內部的物理影像，必然依賴於Kerr黑洞的內視界存在。然而眾多研究顯示 [5] ，黑洞內視界是不穩定的，這種不穩定性一方面來源於內視界的動力學不穩定性，此時微小的漲落會在內視界附近被放大，使得原本的內視界變為新的曲率奇異點所在之處 （即品質暴漲效應） 。
同時，因為時空中各種物質場的存在，當這些物質場使得黑洞帶毛 [註1]（如純量毛） 之後，也會導致黑洞的內視界消失，因此實際的物理影像也可能並不存在內視界 （即內視界和奇異點之內的區域） ，這便會排除內視界以內穩定存在某種星體度規的可能。而且，克爾尋找到的這一類不接觸奇異點的FALLs也將失效，因為他的例子中的測地線交在內視界，但此時內視界位置將變為新的奇異點所在處，因此反例中的測地線實際上將與奇異點相交。
黑洞內部：21世紀的黑體放射線？
值得註意的是，克爾的討論僅僅只是奇異點問題的一種解決方式，即使他提議的失效也並不意味著奇異點便會存在。潘洛斯和霍金基於經典重力證明的奇異點定理更多標誌的是經典重力的失效，從這個意義上，可以說黑洞奇異點更多承擔的是類似黑體放射線紫外發散的歷史意義。量子物理作為一個新的範式，任何物理理論都需要在小尺度上被納入量子物理的範式之中。目前只有以廣義相對論為代表的重力理論仍在負隅頑抗。人們認為重力需要量子化，廣義相對論與量子力學也一定需要融合。在這一過程中，給各種物理量發散的黑洞奇異點一個全新的量子力學版本的理解，從而解決這一發散就是量子重力誕生的必由之路。
經典廣義相對論預言的黑洞內部的影像一定是不完整的，在黑洞內部這一宇宙最隱秘的角落，一定隱藏著更多神奇的東西。
註釋
[1] 黑洞雖然具有無毛定理，但是這僅僅是在愛因史坦-馬克士威的框架下，在更一般的框架下，有很多構造可以超越這個松散定理的限制。
參考文獻
[1] R. P. Kerr, 「Gravitational field of a spinning mass as an example of a algebraically special metric」, Phys. Rev. Lett. 11, p. 237 (1963).
[2] V.A. Belinskii, I.M. Khalatnikov and E.M. Lifshitz, 「Oscillatory approach to a singular point in the relativistic cosmology,」 Adv. Phys. 19, 525 (1970).
[3] R. Penrose, 「Gravitational collapse and space-time singularities」, Phys. Rev. Lett. 14, p. 57 (1965).
[4] R.P. Kerr, Do Black Holes have Singularities? arXiv:2312.00841.
[5] E.Poisson, W.Israel , 「Internal structure of black holes」. Phys.Rev.D 41 (1990) 1796-1809.
本文受科普中國·星空計劃計畫扶持
出品：中國科協科普部
監制：中國科學技術出版社有限公司、北京中科星河文化傳媒有限公司
