我曾經有段時間是久聞橢圓函式大名，但不知其與橢圓有何淵源。阿貝爾在完成了著名的數學難題「 五次以上方程式無代數解」 的證明之後，他大部份精力都投入到了 橢圓函式 的研究。前面我在寫【什麽是伽羅瓦擴張？（一）】的時候說過一對數學精靈阿貝爾和伽羅華， 同是命運多桀，同是英年早逝 ，阿貝爾在短暫的一生中參與了當時 最困難又最吸引人的兩個數學問題 。
23歲的阿貝爾自費印刷了證明五次方程式不可解的論文，到柏林準備拜訪高斯，希望高斯能認識到其論文的價值，可並沒有得到與高斯接見的機會，非常遺憾的是，直到高斯死後，人們在高斯遺物中發現的阿貝爾寄給高斯的小冊子， 並沒有裁開 ，這意味著高斯都沒來得及讀這篇意義重大的論文。
數學的發展很多時候都來源於一些 讓人感到驚奇的問題 ，五次方程式不可解問題是其一，而橢圓積分是另一個，這個不定積分無法用初等函式表示，這就是為什麽高中生在學習圓錐曲線的時候，橢圓的面積公式是πab,與圓的面積πr^2相對應，而橢圓周長卻沒有一個初等函式可以表達了。現在來推導橢圓周長。
其中P為沒有重根的多項式，R為有理函式。這裏的函式f(x)沒有初等函式形式，即它是一種 超越函式 。我們知道超越函式與代數函式相反， 函式不能表示為自變量與常數之間有限次的加、減、乘、除和開方 。 初等函式 則是由 代數函式、三角函式、指數函式以及它們的逆組成 。例如正弦余弦函式就是初等函式裏的超越函式，所以用了新的記號sin、cos來表示正弦余弦函式，而無法把它們寫成自變量與常數之間有限次的加、減、乘、除和開方。橢圓積分引起了很多數學家的興趣，他們一直試圖找到積分的初等函式運算式，但皆以失敗告終，最終數學大師 劉維爾 證明了 橢圓積分不是初等函式 ，運算式都沒有，那如何來探究這類函式的性質呢？
橢圓函式是由橢圓積分 求逆 而來，正是橢圓函式成為了理解這類超越函式的突破口。就像 五次方程式無代數解的問題推動了抽象代數的發展，而橢圓函式則推動了復分析的發展 。現在很少有關於橢圓函式論的書籍，它已成為復分析這個廣闊理論裏的一個很好的例子，這就像五次方程式無代數解問題、尺規法三等分角問題都成為抽象代數理論裏的重要結論。
數學家是如何想到對橢圓積分求逆呢，可以與圓進行類比。我們知道三角函式是圓的參數化函式，很有意思的是正弦函式的逆：arcsin(x)的導函式是一個代數函式，而它本身是超越函式。即
右邊是一個積碎形式，能不能和橢圓函式進行類比呢？最簡單的橢圓積分來自白努利雙紐線，它成為了突破口。雙紐線的笛卡兒方程式為
ω這是一個新的常數！有趣的是sl(x)函式還有第二個周期 2iω,這是它區別於sin(x)函式的獨有的性質。因為
對於sin(x)則
高斯、阿貝爾、亞可比發展了橢圓函式論，可惜的是直到阿貝爾去世前不久，人們才認識到他的價值，當克列爾為阿貝爾爭取到柏林大學數學教授職位的訊息傳到阿貝爾那裏， 他已經因肺結核去世兩天了 ！
