你知道嗎？牛頓發現重力的真相揭秘！

2024-03-09科學

為什麽是牛頓發現了萬有重力？如何透過現象得出普適的理論？他具備了什麽樣的科學家的素養？這樣的素養是不是每個人都可以培養的？

法國巴黎高等師範學院機率學博士米卡埃爾·洛奈的這本沒有一個公式卻能講透數學思維的【數學的雨傘下】，就告訴我們科學家為什麽那麽聰明？因為他們有非凡的思考方法。而這種思考方法是可以習得的。

當我們在了解這個世界的過程中，現實經常會挑戰我們的感官和直覺，讓我們震驚不已。這時，數學就像一把雨傘，當撐開這把雨傘時，我們仿佛進入了一個奇特的境界，有了邁向真相、行走在謎團中的勇氣；當收起這把雨傘時，我們會發現自己的認知已大不一樣，所謂的「理所應當」和「顯而易見」將被摒棄，現實背後隱藏的真相將帶來巨大的啟發。這就是數學的力量。

我們從書中關於數學的雨傘與牛頓發現萬有重力的思考中看一看數學的魅力！

來源 | 【數學的雨傘下：理解世界的樂趣】

作者 | [法] 米卡埃爾•洛奈（Mickaël Launay）

譯者 | 歐瑜

我記得幾年前經常合作的一位數學家朋友曾經說過一句話。當時我們倆正要道別，我們決定在兩周後的同一天、同一時間再見。在她掏出記事本以便記下見面的日期時，我聽到她喃喃低語了一句，多半是說給她自己而不是說給我聽的：「今天是 4 月 20 號，那麽 14 天之後就是 34 號，那就是 34 減 30——5 月 4 號。」

這個演算法讓我笑了。我在回程的地鐵上想了很長時間，她發明了一個不存在的日期：4 月 34 號。這種思維方式對於一個受過數學訓練的人來說既自然又典型！當天晚上，我對幾個並非數學專業出身的朋友提出了這個問題：「14 天後是幾號？」我發現他們每一個人推導日期的方式都不一樣。有人說，10 天之後是 4 月 30 號，所以 11 天之後就是 5 月 1 號，那麽 14 天之後就是 5 月 4 號。從 4 月到 5 月的過渡打破了算術的規則，因為 30 的後面是 1，這一過渡似乎把他們限制在一個數學之外的步驟上去進行月份轉換。由於數位的自然增長被打斷了，因此必須著意打斷這種思維。而我必須承認，如果有人對我提出這個問題，我很可能也會這樣推導日期。

相反，我的那位數學家朋友並沒有在這些太過實際的障礙上停滯不前。4 月的最後一個日期沒有對她的加法形成任何妨礙。因為 20 加 14 等於 34，所以日期就會是 4 月 34 號。而 4 月 34 號就等於 5 月 4 號，僅此而已（圖 2.6）。她發明了一個不存在的日期，以便讓自己的推導直達目標。而這絲毫沒有妨礙她得到正確的結果！

圖　2.6

這是數學顛覆我們三觀的優點之一：可以用不存在的東西去恰當地思考。實際上，思考不存在的東西甚至可以說是數學的特性。不存在的東西也就是抽象的東西。

數位顯然是最引人註目的例子之一。一旦脫離了被它們模型化的現實，數位就成了純抽象的概念。它們是想法，是我們用作思維中間環節的想象之物。就像發明 4 月 34 號來推導日期會是方便之法一樣，發明新的數位對思考新的問題也會有所幫助。

比如，復數就是這樣不期而至的。沒有任何距離會是 -11 千米。無論從哪種邏輯上來講，距離都應該用一個正數來表示。但是，在測量地球上各點之於海平面的海拔時，把位於海平面之下的海淵的海拔看作負數會很實用。照此，位於地殼最深點的馬利安納海溝的海拔就是約 -11 千米（圖 2.7）。負海拔就是地理學家的 4 月 34 號。

圖　2.7　圖中單位為米

研究數學，就是創造想象的世界，在這些世界中，我們的思維可以自由漫步，不必擔心現實的妨礙。這種思維方式雖然涵蓋的範圍要廣得多，但和尼普爾人在加法世界中用來簡化乘法的思維方式非常相似。當你碰到一個科學問題時，下面這種解決方法往往會很有效：

創造一個數學世界，你可以在這個世界裏把問題模型化；

在這個數學世界裏解決問題；

把結果轉回到現實世界中。

比如說，這種通用的方法就被天文學家用來了解行星的軌跡或預測日食（圖 2.8）。

圖　2.8

這種解決問題的模式叫作「雨傘定理」。如果你在雨天想要在不被淋濕的情況下從一個地方前往另一個地方，請按照以下步驟操作（圖 2.9）：

撐開你的雨傘；

開始你的行程；

收起你的雨傘。

步驟 1 和步驟 3 的操作是相反的，如果你能夠在雨傘為你開啟的特定世界中達成預期的目標，那麽你在操作結束時就會恢復到開始時的狀態。負數的雨傘為地理學家測量海拔提供了研究上的便利。對數的雨傘讓淹沒在乘法中的天文學家得以進入加法的世界。而更廣泛地說，抽象的雨傘為所有科學家進入數學世界提供了可能。

圖　2.9

在接下來的路途中，我們還會用到很多雨傘。雨傘，是觀點的改變，是差異，是從另一個角度看待事物的藝術，一種更適合、更有效的角度。

走得更遠，並不總是意味著長久而乏味的努力，而是首先要找到解決所面臨的問題的正確方法。如果我們以正確的方式看待問題，那麽最錯綜復雜的問題也會在一瞬間變得簡單明了。偉大的智者能盡顯其才，首先是因為他們擁有在正確的時間發明正確的雨傘的能力。

在 18 世紀，古怪的作家和旅行家喬納斯·漢韋（Jonas Hanway）是第一個使用雨傘的倫敦人。這是一把真的雨傘——擋雨的傘。他為此遭受了很多白眼和倫敦馬車夫赤裸裸的惡意，因為在當時，搭乘馬車一直是在糟糕天氣出行而不會被淋濕的唯一方法。毫不畏懼旁人眼光的漢韋繼續自豪地使用了三十多年的雨傘，並慢慢看到他的同胞們也開始使用雨傘。在他去世後幾個月，第一批商業化雨傘出現在英國，並獲得了我們今日所知的成功。

不要懼怕與眾不同，這就是雨傘的智慧。讓我們無所畏懼，既不感到羞恥，也不抱有偏見。一旦接受在頭頂撐起抽象的雨傘並進入數學的世界，我們就不會再全然依賴現實。不必讓自己陷在無用的限制或令人尷尬的既有觀念之中。你想要一個 4 月 34 號嗎？拿去吧！你想要負數嗎？拿去吧！你想要無窮嗎？拿去吧！如果所有這些想法不會幹擾你組織思維，甚至還有所幫助，那為什麽要剝奪它們呢？你是自由的！

如此自由，甚至容易讓人頭暈目眩。在這一點上，數學和一大盤點心有著異曲同工之妙——選擇太多，就難以做出選擇了。懂得如何在數學世界裏自我駕馭，是一種需要實踐和直覺的能力。

為此，數學家制造出很多導航工具，其中有兩個指南針：一個名叫「實用」，一個名叫「優雅」。「實用」引導我們創造出最貼近現實的抽象世界，在這些抽象世界中進行的研究能夠輕松地轉化為關於我們宇宙的知識。「優雅」告訴我們要完全拋開現實，並沈醉在抽象世界的奇觀中。那裏有許許多多美麗的事情要做——如果一件事是無用的，那它就更美了。

每個人都能以自己的方式使用這兩個指南針。有些人偏愛其中的某一個，有些人則兩個一起用，並不斷在兩個指南針指示的方向之間尋找完美的平衡。但世界充滿奧秘，因此，探索實用之人和探索優雅之人常常會在走過不同的道路之後，在同一個地方不期而遇。看到大自然如此喜愛按照優雅的數學原理運轉，真是既讓人目瞪口呆，又讓人不知所措。

萬物落在萬物之上，一刻不停

在抵達位於英國鄉間林肯郡的伍爾索普小村時，你會感到那裏若有若無的晨霧中漂浮著一種既普通又淩厲的氣息。那裏零星排列著十幾幢帶有花園的中型住宅。這片地區周圍環繞著一望無際的田地，幾乎沒有受到從倫敦至愛丁堡的 A1 高速公路橫貫而過的幹擾。遠處發動機的嗡嗡聲和鳥兒的歌聲交織在一起。經過伍爾索普的車輛很少，只有本地居民會開車去上班，以及借道科爾斯特沃斯前來伍爾索普莊園參觀的遊覽車。

這些住宅的西南面是村中最古老的房屋，建於 17 世紀，每年吸引著成千上萬的好奇遊客前來朝拜。伍爾索普莊園不是很大。這是一幢倒 F 形的建築，用略帶赭石色的灰色石塊修砌而成，高兩層，有一間閣樓，外墻上排列著二十來扇小窗。我們可以沿著水巷路經由一條夯土小道進入莊園，小道的周圍是一大片修剪淩亂的草坪，草坪上長著幾棵樹和英國灌木。

現在，莊園已經變成了博物館，但它最吸引人的地方並不在墻壁之內。在西側的花園裏，有一棵有著淺灰色樹皮的蘋果樹，歲月的風霜令樹幹彎曲，遊客們對它特別感興趣。人們來這裏就是為了它。遊人面帶燦爛的微笑紛紛與它合影，並在當晚把照片發給朋友：「猜猜我今天看到什麽了？」這棵樹在伍爾索普的地位就像蒙娜麗莎在盧浮宮的地位。人們將信將疑地看著它，幾乎不敢相信它是真的，對著這棵老樹不禁湧起滿腔的欽佩之情。人們語帶調侃地不斷傳頌著這棵蘋果樹的傳奇故事，它在三百多年前催生出了科學史上最奇妙的想法之一。

1642 年的聖誕之夜，艾薩克·牛頓出生在伍爾索普莊園。有一天，他在花園裏喝茶沈思的時候，一個蘋果掉了下來。

為什麽東西會掉落？這個簡單的問題所涉極廣。世界上沒有任何現象比重力更具有深度。這是一件我們如此熟悉且司空見慣的事情，實在令人難以相信它竟然會那麽復雜。

從生命的頭幾年開始，所有人就已經學會了玩重力的遊戲，把它的原理借為己用。年幼的孩子會積累經驗、扔東西，甚至很早就掌握了辨識一切掉落物體的驚人能力。用能夠漂浮或上升的物件，比如氦氣球，給只有幾個月大的嬰兒變戲法，你將發現他們會瞪大雙眼，顯然，他們意識到發生了非同尋常的事情。

重力送上第一個大驚喜，是在我們小時候得知地球是圓的那一天。這個發現讓人目眩，因為它顛覆了我們的大腦對上方和下方的描繪。如果地球是圓的，那為什麽地球另一端的人們不會掉進星際真空裏呢？為了解開這個矛盾之謎，重力第一次迫使我們改變了自己的觀點。下方，指的不是宇宙中的一個固定方位，而是我們星球的中心點（圖 2.10）。生活在地球另一端的人的頭腳方向與我們不同，但是和我們一樣，他們也是頭在「上方」，腳在「下方」！

圖　2.10

這種解釋令人滿意，我們可能會就此止步。但在科學上，一個答案會帶來十個新的問題——遊戲從未真正結束，一貫如此。那麽好吧，我們知道地球的下方在地心，但怎麽會在地心呢？

比如，我們會很自然想要知道，究竟是下方構成了地球，還是地球構成了下方。換句話說，地球在這裏形成是因為下方在它之前就在那裏了嗎？還是因為有了地球後，才使得下方來到了它的中心呢？讓我們做一個思想實驗。如果有可能借助巨型火箭的牽重力讓地球在太空中移動，那麽下方是會保持靜止不動、懸浮在真空裏，還是會跟隨地球移動呢？而處於地球表面的人類是會掉進星際真空中，還是保持在地面上不動呢（圖 2.11）？

直到 17 世紀，這個問題仍不斷引起科學界的種種爭議。1609 年，天文學家約翰內斯·克卜勒出版了一部具有開創性的著作——【新天文學】（Astronomia Nova），他在書中明確表示支持第二種假設。在他看來，是地球產生了重力，是地球透過構成它的物質把我們吸引向它的中心。

圖　2.11

克卜勒甚至認為，這種吸引事物的能力並非只有地球才有。在他看來，這是物質的一種普遍特性。因此，他寫道，如果可以消除地球的重力，海洋就會升入星空，直到它們在月球的軀體上流淌（圖 2.12）。他還聲稱，這種吸引能力並非為行星或其他天體所獨有的，而如果兩個小物體被送到宇宙的廣袤空間中，遠離大天體的重力影響，那麽它們就會慢慢地掉落在彼此之上。

你在 21 世紀閱讀這本書的時候，或許已經知道歷史證明了克卜勒是對的。是的，地球的重力確實是它自行產生的，就像所有的物體自行產生重力一樣。但不要忘記，在 17 世紀，這一切不過是猜想。了不起的猜想，畢竟還是猜想。想要讓一種論斷具有科學性，就必須能夠用準確和可以驗證的說法把它表達出來，而且最好能用數學的說法。然而，我們不可能消除地球的重力，也不可能在那個年代把兩個小物體送入星際真空。克卜勒的想法極具遠見，但還不完善。剩下的，就是要創立一種嚴謹的且可以驗證的偉大理論來證實所有這一切。

圖　2.12

就在那個時候，在伍爾索普的花園裏，一個蘋果掉了下來。

1687 年，艾薩克·牛頓出版了一部名為【自然哲學的數學原理】（Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica，下文簡稱【原理】）的非凡之作。這本書可以說是科學史上最具影響力的作品之一，標誌著人類理解重力和透過重力理解宇宙的轉折點。書中介紹的重力理論因其非凡的普遍性和數學公式化的力量而引人矚目。

蘋果掉落讓牛頓產生了撰寫【原理】的偉大想法，在這個故事中有多少是真實的，有多少是杜撰的，我們並不太清楚。牛頓的這個想法部份借鑒了克卜勒的思考，但他把這些思考推到了極致，從而提出了一個絕對通用的原理，這個原理可以表述為：萬物落在萬物之上，一刻不停！宇宙中的任意兩個物體，無論它們是什麽，身在何處，都會不斷地相互吸引，若無阻礙，兩者會具有相互掉落的趨勢。

借助這個簡單的法則，牛頓解釋了各種風馬牛不相及的現象，而此前人們從未想到，這些想象可以用如此簡單的方式加以理解。當然，萬有重力解釋了為什麽蘋果會掉落在地球上，因為它受到了地球的吸引。正如克卜勒所預言的那樣，萬有重力還解釋了潮汐現象。海洋每天升起又落下，是因為受到了月球的吸引，盡管我們衛星的重力還不足以把地球上的水帶到月球上，但也足夠讓地球上的水升高幾米。牛頓還認為，是重力讓行星保持致密。構成地球的物質之所以沒有像拋在風中的一捧沙子那樣在空中散開，那是因為重力讓它保持聚成一體的狀態。

但是，牛頓最大的成就無疑是用簡單的重力定律解釋了月球和行星的運動。

在過去的幾個世紀中，陸地上的現象和天空中的現象一直都被區別對待。人們認為天空中的物理規則有所不同。人們認為蘋果掉落的運動法則和行星轉動的運動法則不一樣。證據就是，蘋果沒有在轉動，而行星沒有在掉落！但牛頓在【原理】中提出了相反的看法，從而掀起了一場名副其實的革命。在他看來，所有旋轉的天體唯一的運動就是永不停止地掉落。

就以月球為例。牛頓聲稱月球受到地球的吸引並朝地球掉落。但這一推理的全部精妙之處就在於：由於地球的直徑只有約 13 000 千米，而月球又執行得飛快，因此後者掉落時就總是落空！於是，月球一次又一次地朝著不斷躲開的地面重復同樣的運動，從而持續掉落而速度不減。對於牛頓而言，我們所說的軌域，不過是永遠落空的掉落。

下方位於地心的事實，讓這種永恒的掉落成為可能。假設你擁有超人的力量，能夠以驚人的速度把蘋果徑直向前丟擲，使之落在地平線的後面。如果「下方」的方向保持不變（圖 2.13 左），那麽蘋果就會飛出地球，掉入無限的星際真空中。但因為下方在我們星球的中心，所以蘋果掉落的「下方」就會隨著蘋果的旋轉而改變方向。因此，蘋果就會繼續朝著不斷「躲開」的地面掉落，而這個地面處於不斷的運動之中。你就把蘋果送入了軌域（圖 2.13 右）。