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哥哥姐姐弟弟妹妹們,大家好,我是王同學。
接上文。
03 | 貝葉斯定理
上篇文章我們說了一些比較簡單的機率問題,但是在現實生活中,我們很多時候處於資訊不完備的情況,此時如果要做決定,需要根據手頭已經掌握的部份資訊,借助條件機率推算。
貝葉斯定理可以用於計算某件事情發生的條件機率。具體來說貝葉斯公式非常簡單,事件a和b都發生,等同於事件a發生,且在事件a發生的條件下事件b也發生。用數學公式來表示就是,
P(AB)=P(A)·P(B|A)
將公式進行變形,得到
P(B|A)=P(AB)/ P(A)
這就是貝葉斯公式。
昨天我們做過的部份題目可以利用貝葉斯定理進行計算。比如說,一對夫妻有兩個孩子,其中有一個孩子是男孩兒,另一個孩子是女孩兒的機率有多大?
此時,我們假設,
事件A為其中一個孩子是男孩兒
事件B為另一個孩子是女孩兒
此時我們要求的就是在其中一個孩子是男孩兒的前提下,另一個孩子是女孩兒的機率,即P(B|A),
P(B|A)
=P(AB)/P(A)
=(1/2)/(1-1/4)
=1/3
這道題很簡單,我們可以將它升級一下,假設一對夫妻有兩個小孩兒,至少一個小孩兒是在星期二出生的男孩兒,求兩個小孩兒都是男孩兒的機率。
此時,我們假設
A(至少一個小孩兒是在星期二出生的男孩兒)
B(兩個小孩兒都是男孩兒)
那麽,
P(B|A)
=P(AB)/P(A)
=P(B)·P(A|B)/P(A)
=1/4*(1-(6/7)^2)/(1-(1-(1/2*1/7)^2)
=13/27
其中P(至少一個小孩兒是星期二出生的男孩兒)=1-P(兩個都不是周二出生的男孩)=1-(1-P(其中一個是周二男孩兒))^2
04 | 酒鬼問題
一個酒鬼非常喜歡喝酒,每天有90%的機率會去喝酒,如果喝酒只會去三個酒吧,而且去這三個酒吧的機率是相等的,如果不去喝酒的話,他就會待在家裏,機率是10%。
這一天警察隨機去了三個酒吧當中的兩家都沒有遇見這個酒鬼,請問在第三個酒吧遇見這個酒鬼的機率是多少?
這道題很簡單,有兩個酒吧已經被警察排除了,所以只會在最後一個酒吧或者家裏,在酒吧的機率就是30%/(30%+10%)=75%,相應的,在家的機率是25%。
這道題我們用貝葉斯公式如何計算?
先定義條件,
A1(酒鬼今天喝酒了)
A2(酒鬼今天沒喝酒)
B1(酒鬼被抓住了)
B2(酒鬼沒有被抓住)
我們目前想要求的是酒鬼沒有被抓的條件下,他在第三個酒吧的機率,機率是
P(A1|B2)
=P(A1)P(B2|A1)/P(A1)P(B2|A1)+P(A2)P(B2|A2)
=(90%*1/3)/(90%*1/3+0.1*1)
=75%
這個公式的第二行,分子部份我們可以理解為,去喝酒並且沒被抓住的機率,分母部份我們可以理解為,去喝酒沒有被抓住的機率加上沒去喝酒且沒有被抓住的機率。這和我們一開始使用的第一種方法異曲同工。
再次說明一下,數學相關的內容,看文章比較難,在各個視訊平台上都有很多關於貝葉斯定理的視訊講解,那些up主講解都非常好,這篇文章不過是王同學自己學習之後的一篇總結,沒必要盯著王同學的文章看,容易看的一頭霧水。建議看視訊,有聲音有圖片,講解更加容易懂,王同學推薦李永樂老師和袁嵐峰老師的視訊。
看世界,見自己,全情投入
王同學
2024.1.17