馬可夫鏈是一種統計模型，用於描述一系列隨機事件，其中每個事件的機率只依賴於前一事件的狀態，而不依賴於更早的事件。這種特性被稱為「無記憶性」或「馬可夫性質」。馬可夫鏈由俄國數學家安德烈·馬可夫在1906年引入，它在機率論、統計學、電腦科學、生物學、經濟學、物理學等多個領域都有廣泛的套用。
在馬可夫鏈中，系統可能處於多個狀態之一，並且隨著時間推移，系統會從一個狀態轉移到另一個狀態。狀態轉移遵循一定的機率規則，這些規則可以透過狀態轉移矩陣來表示。狀態轉移矩陣中的每一行表示從一個特定狀態出發，轉移到其他所有可能狀態的機率分布。
馬可夫鏈的意義在於它提供了一種建模和預測隨機過程的方法，特別是那些具有無記憶性的過程。例如，在自然語言處理中，可以使用馬可夫鏈來預測下一個單詞基於前一個單詞出現的機率；在網頁排名演算法（如谷歌的PageRank演算法）中，馬可夫鏈被用來評估網頁的重要性，基於網頁之間的連結結構；在遺傳學中，馬可夫鏈可以用來模擬基因突變的過程；在金融風險評估中，它可以用來預測資產價格的波動模式；在天氣預報中，馬可夫鏈可以用來預測未來天氣狀況的機率。
馬可夫鏈還有長期行為的穩定性質，即在經過足夠多的時間後，系統會趨向於一個穩定狀態分布，稱為平穩分布或平衡分布。這一性質在許多實際套用中非常重要，比如在評估長期風險、預測市場趨勢或者理解復雜系統的長期行為時。
此外，馬可夫鏈的高級形式，如隱藏馬可夫模型（HMM），被廣泛套用於語音辨識、生物序列分析等領域，它們能夠處理更復雜的情況，其中觀察到的數據是由未直接觀測到的隱藏狀態生成的。
總之，馬可夫鏈是一個強大的工具，它幫助我們理解並預測隨機事件的發展。透過利用無記憶性這一特性，馬可夫鏈簡化了復雜系統的建模，使其在處理大量數據和不確定性時變得高效而實用。無論是在科學研究還是在工業套用中，馬可夫鏈都是一個不可或缺的概念，它極大地擴充套件了我們理解和控制隨機過程的能力。
