讓我們一同邁入時光之門，重返算術的起源，感受那些數位舞動的韻律，理解它們是如何幫助古人解決問題，如何深刻影響我們當下的日常。
算術的歷史可以追溯到人類使用計數和刻痕來追蹤數量的古老方法。一些研究人員指出，萊邦博骨（大約有 4.3 萬年的歷史）和伊尚戈骨（大約在 2.2 萬到 3 萬年前之間）可能是已知最古老的算術工具，這些工具上的記號被推測可能代表了月亮周期或某種早期計數系統的記錄。然而，這種觀點尚有爭議，古人使用這些工具的確切目的至今未有定論。然而，人類對數位的基本感知可能早於這些發現，甚至可能在語言發展之前就已經存在。
公元前 3000 年左右，隨著古代文明的出現，算術才開始演變成更加復雜和結構化的形式。這種變化是由於日益增長的對儲存物品跟蹤、土地管理以及安排貿易活動的需求所驅動。所有主要的古代文明都發展了非標準進制系統(non-positional numeral systems)以便更好地表達數位。他們也建立了表示加法和減法等運算的符號，並且理解了分數的概念。
例如，我們可以從埃及的象形文字以及蘇美爾、中國和印度發明的數制看到這些進展。大約在公元前 1800 年，巴比倫人開始發展第一個位置數值系統，是一個重大的創新，因為它引入了空位的概念，使得數位可以根據位置有不同的值。這是後來阿拉伯數位和現代十進制系統的前身，並使得大數位的表示和計算更為高效。
早期文明主要是出於實際需要使用數位，並未發展出抽象的數位概念。這一狀況在古希臘數學家的研究中得到了改變。他們不僅僅研究數位在特定問題中的套用，而是開始探索數位的抽象本質。他們使用證明來確立數學真理和驗證理論，這是一個新穎的方法。他們還區分了各種類別的數位，如偶數、奇數和質數，並行現某些幾何長度的數位是無理數，因此沒法用分數表示出來。
古希臘數學家不僅研究數位的具體套用，還探索數位的理論本質。他們是第一批認識到數學和邏輯證明重要性文明。例如，畢達哥拉斯學派對數位的研究不僅限於它們的算術性質，還包括它們的哲學和宇宙意義。
公元前 7 世紀和公元前 6 世紀的泰勒斯和畢達哥拉斯的工作通常被視為希臘數學的起點。
公元前 3 世紀的丟番圖（Diophantus）是希臘算術中的一個有影響力的人物，他對數論的眾多貢獻以及他對代數方程式進行算術運算的探索而聞名。
古印度人首次發展了零作為計算 中使用的一個數位的概念。大約在公元 628 年，婆羅摩笈多詳細記錄了關於零的運算規則。零或無的概念早已存在，但之前並未被視為算術運算的物件。
婆羅摩笈多進一步提供了關於負數進行計算的詳細討論，以及它們在債務和貸款等問題中的套用。
婆羅摩笈多的研究在算術領域引發了重大進步，特別是他對零和負數的研究。他提出的負數和零的計算規則，不僅對同期的數學家產生了深遠影響，也為後世的數學家如阿拉伯數學家花拉子米等人提供了靈感。花拉子米甚至寫了一本關於印度數位系統的書，這本書後來被轉譯成拉丁文，影響了歐洲的數學發展。
然而，負數的概念遠早於婆羅摩笈多，最早可追溯到公元前 100 年中國古代數學著作【九章算術】中就有記載。
從古代開始，算盤就作為手工計算工具被廣泛使用，以便進行復雜的計算。中國的算盤（即算盤）是一個例子。
印度數學家對今天廣泛使用的十進制定位系統，尤其是零的概念，作出了重要貢獻。例如，大約在公元 6 世紀之交，阿耶波多（Aryabhata）詳細論述了它的運算方法。印度的十進制系統在伊斯蘭黃金時期被阿拉伯數學家，如艾爾-花拉子米（Al-Khwarizmi）進一步完善和擴充套件到非整數的範圍。
花拉子米（Al-Khwarizmi）在數學史上是一個轉折點，因為他的著作「Algoritmi de numero Indorum」（花拉子米的印度算術）將印度的數位系統和演算法介紹給了阿拉伯世界，並最終傳播到了歐洲。值得註意的是，「演算法」（algorithm）一詞來源於「算術」（algorism），這本身就是對花拉子米貢獻的一種認可。
花拉子米的工作對將十進制數位系統引入西方世界產生了深遠的影響，當時西方世界還依賴於羅馬數位系統。
十進制系統在西方的普及，很大程度上歸功於列奧納多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）的推廣。透過他的【算盤書】（Liber Abaci），斐波那契不僅介紹了印度-阿拉伯數位系統，還普及了現在廣泛使用的十進制系統和以自己命名的費氏數列。
中世紀和文藝復興時期，隨著商業的發展，出現了許多流行的教科書來滿足實際計算需求。算盤在這一時期的使用也變得極為普遍。值得一提的是，在 16 世紀，數學家傑羅拉莫·卡爾達諾（Gerolamo Cardano）提出了復數的概念，這是作為解決三次方程式的一種方法而構想的。
在 17 世紀，機械小算盤的誕生極大地促進了復雜數學計算的發展。這個時期最著名的兩個例子是布萊茲·帕斯卡（Blaise Pascal）的小算盤和哥特佛萊德·威廉·萊布尼茲（Gottfried Wilhelm Leibniz）的步進式小算盤。
帕斯卡創造了被普遍認為是世界上首台機械小算盤的「帕斯卡電腦」，它利用一系列精巧的齒輪來進行加法和減法運算。而萊布尼茲的步進式小算盤（Stepped Reckoner）則在技術上更為進步，不僅能執行加減運算，還能處理乘法和除法，是第一個能夠進行四種基本算術運算的機械小算盤。這一發明標誌著計算工具的一個重大飛躍，因為在那之前，復雜的計算都依賴於手工完成，過程既耗時又易於出錯。
萊布尼茲的步進式小算盤第一個可以執行所有四種算術運算的小算盤
此外，17 世紀還見證了對數的發現。對數是由約翰·納皮爾（John Napier）發現的，對數極大地簡化了乘法和除法運算，因為對數可以將復雜的乘除運算轉換為更簡單的加減運算。
進入 18 世紀和 19 世紀，數學巨匠如歐拉（Leonhard Euler）和高斯（Carl Friedrich Gauss）對現代數論做出了深遠的貢獻。他們對整數的性質和關系進行了深入研究，解決了數論中的眾多難題，並行現了許多重要的定律和定理。
需要特別提出的是數學的形式化和基礎工作，這方面的典範包括格奧爾格·康托爾（Georg Cantor）發展的集合論，以及戴德金-皮亞諾公理（Dedekind–Peano axioms）。這些工作為數學提供了一個更嚴格的理論基礎，使得數學不僅僅是一系列未經證明的規則的集合，而是一套有內在邏輯和嚴格證明的系統。
20 世紀發展的電腦和電子小算盤徹底改變了數學計算的領域。這些工具的廣泛使用提高了計算的準確性和速度，使得即使是復雜的計算也能快且準確地完成。
正上面所見證的，電腦不僅僅是數學的工具，它們已成為人類智慧的延伸。在本文這次探索中，我們已經從原始的刻痕計數手段演變到擁有探究宇宙最深奧秘密的強大超算。人類的旅程不會止步，算術的故事將繼續在每個人的生活中展開新的篇章。我們期待著未來會有怎樣的奇跡出現，正如對數位的理解一樣，永無止境。
