2022 年標誌著納維爾-斯托克斯方程式首次出現200周年，這是 Claude-Louis Navier 於 1822 年引入的流體動力學中的一個裏程碑。該方程式考慮了流體的黏性和摩擦力，徹底改變了人們對流體運動的理解，將其適用範圍擴充套件到了理想流體之外。在本文中，我們探討了 Navier–Stokes 方程式的歷史發展及其在過去兩個世紀對流體動力學的深遠影響。從 Navier 最初的理解到 George Stokes 的實驗驗證，再到其他科學家的後續貢獻，我們追溯了這個方程式的演變過程。我們還深入研究了它的實際套用，包括它在計算流體動力學開發中的作用。Navier–Stokes 方程式在推進我們對流體行為的理解方面發揮了關鍵作用，使其成為現代科學和工程的基石。
撰文 | Sylvio R.Bistafa
1 引 言
Navier–Stokes 方程式 (以下簡稱N-S方程式) 的首次推匯出現在 Claude-Louis Navier 的兩篇論文中：【關於流體運動規律以及分子黏性】 [1] ，發表於 1821 年的【化學和物理學年鑒】（印刷版實際上出現於 1822 年） ，本文稱其為第一篇論文；以及【關於流體運動規律】 [2] ，發表於 1823 年的【法國皇家科學院論文集】（實際上出現於 1827 年的印刷版） ，本文稱其為第二篇論文。盡管如此，根據記錄，這兩篇文章都是在 1822 年 3 月 18 日在巴黎學院宣讀的，這一年被認為是該方程式出現的年份，也是該方程式首次公開發表的年份。這兩篇文章首次在流體運動方程式中正式引入了摩擦。在此之前，在 1755 年發表了著名的非黏性流體歐拉方程式之後，運動方程式一直局限於完美（理想）流體。
Navier 對學術的熱愛，以及他在巴黎綜合理工學院從事高等分析工作和在路橋與公路學院的實用工程背景，使他具備了為流體流動科學做出重大貢獻的理想條件，因為他意識到流體摩擦是實驗偏離理論的主要原因。文獻[3]對 Navier 發展的 N-S方程式進行了深入討論，該方程式包含在兩篇論文中。在他的研究中，Navier 首先采用拉普拉斯的分子理論，將一般物體視為由彼此接近並透過兩種交互作用的力 （一種是吸重力，一種是排斥力） 的粒子組成，當處於平衡狀態時，這兩種力互相抵消。當流體移動時，所有分子都被共同的運動帶走，保持各自的狀態，這些分子的狀態不會改變，流體內部也不會產生新的作用。然而，當兩個分子之間存在速度差異時，這兩個分子之間的排斥力就會發生變化。根據 Navier 的說法，兩個分子之間的速度差乘以這兩個分子距離的函式 （隨著距離的增加，該函式會迅速減小） ，再乘以相對於「流體分子的黏性」 （粘度） 的常數，得出兩個分子之間的排斥力 （如果該量為負，則變為吸重力） 。
在確定了運動流體的分子力性質之後，Navier 提出了一種類比，將黏性流體的運動與彈性固體的運動進行了對比，這是在第一篇論文中發展出來的，首次得到了今天所知的 N-S方程式的不可壓縮形式。由於實驗結果的矛盾，Navier 之後的主要關註點是要知道在固體邊界處應滿足什麽適當的邊界條件，對於分子壁對流體分子施加特定作用的情況。然後，在第二篇論文中，透過套用拉格朗日矩量法 (Lagrange’s method of moments) ，他再次得到了 N-S方程式，但帶有新的邊界條件。
2 什麽是 N-S方程式 ?
Navier-Stokes 方程式 (N-S方程式) 是一個非線性偏微分方程式，它控制著真實黏性流體的運動，可以看作是流體的牛頓第二定律。它描述了許多科學和工程領域感興趣的流動現象的物理學，可用於模擬天氣、空氣和海洋流、這些流體介質中的汙染擴散、管道中的水流、機翼上的空氣流動、動脈中的血液流動等。它可以幫助工程師設計發電站、飛機、汽車、泵、渦輪機、通風機等流體流動裝置，以及許多其他型別的裝置。
不可壓 N-S 方程式如下：
其中μ是黏性，ρ是密度，粗體表示向量。
連續性方程式 ▽ · u =0，加上 N-S 方程式的三個分量，構成了一個必要的方程式系統，用於獲得三個速度分量和壓力。
這個方程式的邊界條件是在固體邊界 u = U ，其中 U 是邊界速度。
N-S方程式是 Euler 方程式的演化。Euler 方程式控制著無黏性流體的運動，因此可以看作是沒有黏性項μ ▽2 u 的 Navier-Stokes 方程式。
在19世紀初，關於流體阻力和流動阻滯現象的知識是經驗的。Navier 也是如此，他甚至負責編寫了 Belidor 的 Architecture hydraulique 的修訂版，當時是一本非常受水利工程師歡迎的實用書籍。盡管如此，是 Navier 第一個嘗試在 Euler 方程式中插入新的術語，他將拉普拉斯的新分子理論套用到粘度模型中。
與當時使用的經驗方法相反，這些方程式被認為過於復雜，無法為當時工程師面臨的實際問題提供現成的答案。此外，當時的數學能力還沒有準備好處理這些方程式。事實上，它們是有史以來第一批被寫出的偏微分方程式，其中涉及到了非線性項( u · ▽ ) u ，這一項至今仍困擾著人們。即使有人願意修改歐拉方程式，他也會缺乏關於新項結構的線索，也因為內部流體摩擦的概念尚不成熟 [4] 。
3 N-S 方程式誕生的前五個階段
這一部份的標題是從文獻[4]借鑒來的，Darrigol 在這篇文獻中對 N-S方程式的最初提議進行了徹底而出色的描述，將其置於這個方程式出現之前和之後的歷史發展背景中。
流體摩擦力與粘度的關系直到十九世紀才有了合適的模型。將黏性力納入流體運動方程式是由 Claude-Louis Navier 於1822年首次提出的 [1] 。現代彈性理論可以認為是在同一份出版物中誕生的，當時 Navier 第一次給出了 (各向同性的，單常數的) 彈性固體的平衡和運動方程式。透過提出 (被認為是第一個現代) 彈性理論，Navier很快意識到這些方程式可以擴充套件到其他連續介質，並以彈性固體方程式為起點，他寫了黏性流體的運動方程式，用流體顆粒速度代替彈性固體位移，用流體粘度常數 (Navier 稱之為「黏性系數」) 代替彈性固體常數。
此後，奧古斯丁·柯西（ Augustin Cauchy ）、西姆·帕松 （Simsamumon Poisson） 和阿德·巴羅·聖維南（ Adhsamar Barré de Saint-Venant） 幾乎獨立地並透過不同的論證重新得到了黏性方程式。正如 Darrigol [4] 所指出的，每一個新的發現者要麽忽視要麽詆毀他的前輩的貢獻。每個人都有自己的方式來證明這個方程式。
關於 Stokes 對黏性流動運動方程式的研究，始於1845年，當時 Stokes發表了【論運動中流體的內摩擦理論】 [5] 。與 Navier 的方法類似，Stokes 使用連續性論證來證明彈性固體和黏性流體的相同運動方程式。一個實際的動機是，Stokes 似乎已經意識到，在鐘擺周圍流動的空氣的粘度可能會使鐘擺的行為與真空中的理想鐘擺不同。透過套用類似於柯西和帕松的方法，Stokes得出了N-S方程式，他說這個方程式和連續性方程式「[…]適用於確定管道和運河中的水的運動，適用於計算潮汐和波浪運動的摩擦，以及諸如此類的問題」[5，p93]。
由於許多研究者已經證實了 Navier 提出的黏性流動的運動方程式，人們可能會想知道為什麽 Stokes 也會與這個方程式聯系在一起。答案可能是，他對不同研究者的理論和實驗進行了廣泛的比較，包括圓柱形桿、球體、長桿和短桿末端的球體、振蕩盤、在空氣和水中振蕩的長擺和短擺等。因此，與研究N-S方程式的其他作者不同的是，與 Navier 相似的是，Stokes 有一個非常明確的意圖，即透過將理論與實驗進行對比，非常明確地致力於實作其實用性，這可能是他和納維一起與黏性流動運動方程式聯系在一起的原因。
4 N-S 方程式的解
就 N-S 方程式的解而言，首先應該指出，由它們的第一作者提出的 N-S 方程式嚴格地只適用於毛細血管中的緩慢運動，即層流 （laminar flows） 。這些最初的推導並沒有打算將這個方程式用於最常見的亂流。這是一個嚴重的限制，因為大多數感興趣的流動通常是湍急的。盡管如此，對 N-S 方程式解的探索促進了非常有創造性的數學方法的發展，這些方法使人們對層流有了更深入的了解，並促進了更復雜層流和一般亂流的數值解的發展。
4.1. 精確解
N-S 方程式的精確解可分為兩大類。第一類，由於流的簡單性質，包括非線性項( u· ▽ ) u =0的解。屬於這一類的流動有 Couette flow (lubrication theory 由此發展而來) 、Poiseuille flow (均勻橫截面管內的流動) 、旋轉圓柱體之間的流動、Stokes 第一和第二問題以及平行表面之間的脈動流動。
第二類精確解是非線性對流項不等於零的解。這類流動的例子包括停滯點流動、收斂和發散通道中的流動以及多孔壁面上的流動。
4.2. N-S 方程式-Stokes方程式的低雷諾數解
從 Stokes 方程式中得到的一個著名的結果是著名的Stokes 阻力定律。在這裏，我們發現黏性流體中自由落體的力與黏性之間存在聯系。落球粘度計是一種測量液體粘度的裝置，它是透過測量一個球體在重力作用下透過一個裝有待測粘度流體的管子下落一定距離所需的時間。
4.3. 層流邊界層
邊界層是靠近物體表面的一個薄區域，在那裏黏性效應很明顯。邊界層是在內部流動中形成的，例如在管道的入口，以及在外部流動中形成的，例如在飛機機翼上的流動。
在翼型的情況下，邊界層首先平滑地流過翼型的流線型，而邊界層中的流動是層流的。當氣流接近機翼中心時，由於摩擦，它開始失去速度，邊界層變得更厚和亂流。
任意形狀翼型的層流邊界層不存在解。盡管如此，對於受均勻流作用的平板，我們還是有可能從N-S方程式的簡化形式中得到一個解——實際上，對於一個復雜的問題來說，這是一個過於簡化的問題。
5 Reynolds平均 N-S 方程式
正如我們剛才看到的，N-S 方程式對更復雜的層流沒有解，正如前面提到的，它目前的形式不適用於亂流，而亂流是大多數感興趣的流動的所在。
與黏性應力類似，亂流速度波動也產生應力，即所謂的雷諾應力，它是亂流波動施加在平均流動上的平均力 （每單位面積） 。
雷諾平均Navier-Stokes方程式 （RANS 方程式） 是常規N-S方程式的擴充套件，適用於亂流。它們是透過所謂的雷諾分解得到的，即瞬時速度被分解成它們的時間平均量和波動量。
RANS 方程式具有與層流 N-S 方程式相同的結構，不同之處在於 RANS 方程式中的速度用時間平均值表示。然而，在 RANS 方程式中出現了一個附加項，它表示亂流的影響。這一項引入了六個與速度波動相關的未知項，但沒有匹配的方程式來關閉系統。因此，為了閉合方程式組，需要對這一項進行建模。為此目的發展了幾種方法。
計算流體力學 (CFD) 是流體力學的一個分支，它套用數值分析和數據結構來分析和解決涉及亂流的問題。電腦程式用於執行模擬自由流動和流體 (液體和瓦斯) 與邊界條件定義的表面的交互作用所需的計算。多虧了高速電腦，我們才能解決最大、最復雜的問題。圖1顯示了透過CFD模擬獲得的飛機翼型周圍的壓力分布。
圖1:用CFD模擬得到飛機翼型周圍的壓力分布
CFD 套用亂流數值模擬。這基本上可以透過直接數值模擬 (DNS) 和大渦模擬 (LES) 來完成。DNS顯式地解析和捕獲所有尺度的亂流，包括最小的亂流。LES背後的主要思想是透過忽略最小的長度尺度來減少計算成本，而最小的長度尺度在計算上是最昂貴的。對於大多數工程套用來說，不需要解決亂流波動的細節，因此，RANS模擬是更好的選擇。
RANS方程式的套用需要采用亂流模型，亂流模型是封閉平均流量RANS方程式系統的計算過程。亂流模型允許計算平均流量而不首先計算完全隨時間變化的流場。亂流模型提供了雷諾應力的運算式，從工程的角度來看，它必須簡單、準確和經濟。
6 N-S方程式對流體動力學演化的影響
在 N-S 方程式第一次出現之後，很快就清楚了，為了使這個方程式更有用，它必須解決亂流現象。就是奧斯賓·雷諾 (Osborne Reynolds) ，流行的雷諾數的名字就是從他那裏借用來的，他在1895年提出了透過對 N-S方程式對亂流漲落進行平均來包含亂流的方法，這就產生了前面討論過的雷諾茲平均 N-S 方程式。
接下來的主要進展是亂流建模，最初是透過特別程式完成的。這就是普朗特爾 (Prandtl) 在1925年提出的混合長度概念。這是最簡單的亂流模型，目前仍用於 CFD 模擬 RANS。混合長度的概念是由渦流粘度的概念演變而來的，渦流粘度與分子粘度類似，是由於亂流速度波動引起的內摩擦系數。1877年，Boussinesq在他的著作 Essai sur la thsamorie des Eaux Courantes 中首次發表了渦動黏度的運算式，這是建立在Saint-Venant提出的亂流的早期觀點之上的 [6] 。
1933年，Nikuradse [7] 發表了「粗糙管道中的流動定律」，這是基於他對亂流流過粗糙管道時所經歷的摩擦的仔細測量。這些測量結果由 Colebrook 進行插值，得出了以他的名字命名的公式，這是公認的亂流摩擦設計公式。1944年，穆迪 (Moody) 繪制了著名的管道摩擦穆迪圖，這被認為是流體動力學中最有用的圖表。
就套用而言，N-S方程式的原始形式在其適用性方面當然有局限性，盡管如此，自從它第一次出現以來，它已經促進了大量的工作來理解，建模和預測流體行為，這對流體動力學的發展做出了決定性的貢獻。
7 結 論
N-S 方程式存在的 200 年在流體動力學領域留下了不可磨滅的銘印。從19世紀初它的誕生到21世紀的持續相關性，這個方程式一直有助於擴大我們對流體運動的理解。Navier、Stokes 和後來的科學家們的貢獻鞏固了它作為科學和工程的基本支柱的地位。
方程式從最初的形式演變為雷諾平均N-S 方程式，並超越了它，這使我們能夠解決從層流到亂流的各種流體流動問題。它在計算流體動力學 (CFD) 中的套用為模擬復雜的流體行為開啟了大門，有助於飛機、車輛、發電站和各種流體機械的設計。
雖然N-S 方程式有其局限性，特別是在亂流建模方面，但它一直是研究和創新的催化劑。對理解和預測流體行為的追求導致了亂流模型、數值方法和實驗技術的發展。這種持續的追求將繼續塑造流體動力學的未來。
在我們慶祝這一方程式誕生200周年之際，我們承認它的持久意義以及它所激發的無數貢獻。從基礎研究到實際套用，N-S 方程式仍然證明了科學探索的持久力量及其對我們對自然世界的理解的影響。
參考文獻
[1] C.L. Navier, Annales de Chimie et de Physique 19, 244 (1821).
[2] C.L. Navier, Mémoires de L’Académie Royale des Sciences de L’Institut de France 6, 389 (1827).
[3] S.R. Bistafa, Rev. Bras. Ensino Fís. 40, e2603 (2018).
[4] O. Darrigol, Arch Hist Exact Sc. 56, 95 (2002).
[5] G.G. Stokes, in: Mathematical and physical papers, edited by G.G. Stokes (Cambridge University Press, Cambridge, 1880).
[6] A. Tamburrino, Fluids 9, 15 (2024).
[7] J. Nikuradse, Laws of flow in rough pipes, available in: https://digital.library.unt.edu/ark:/67531/metadc63009/m2/1/high_res_d/19930093938.pdf
本文經授權轉載自微信公眾號「數學往事」，文章譯自【200 years of the Navier–Stokes equation】 。
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