一頂神奇的「帽子」
2023年3月末，一頂神奇的「 帽子 」，讓眾多數學家驚嘆不已。現在，這頂「帽子」，已經進入了物理學領域。
「帽子」實際上是一種由多個風箏形狀組成的十三邊形，它是數學家在尋找已久之後發現的第一個「 愛因史坦 」。
「帽子」是第一個被發現的單鋪砌塊。（圖/D. SMITH ET AL/ARXIV.ORG 2023）
「愛因史坦」源自於德語中的 ein Stein ，即「一塊石頭」的意思，指的是 單鋪砌塊 （monotile） 。單鋪砌塊指的是 一個可以填滿無限平面，且不會自我重復的 非周期性 鋪砌塊。非周期性意味著，由這種形狀構成的整體圖案，不能透過平移或旋轉來恢復相同的圖案。
在數學的鋪砌領域，尋找「愛因史坦」是許多數學家追求了半個多世紀的一座「聖杯」。在「帽子」出現之前，數學家需要多種形狀來組成非周期鋪砌塊。比如數學家發現的第一個可以覆蓋無限平面的非周期鋪砌是由2萬多種形狀組成的。在後續的研究中，數學家們在逐漸地縮小這一數位。
直到上世紀70年代，著名數學家和物理學家 羅傑·潘洛斯 （Roger Penrose） 僅使用兩種不同的菱形，完成了非周期性鋪砌。
由兩種菱形組成的潘洛斯鋪砌。（圖/scipython）
潘洛斯鋪砌塊與自然世界有著深厚的聯系。1982年，材料科學家 丹·謝赫特曼 （Dan Shechtman） 發現， 準晶體 （一種有序但非周期性的晶體） 的分子結構中，也存在與潘洛斯鋪砌塊相似的對稱性。他也因這一發現而獲得了2011年的諾貝爾化學獎。
單鋪砌塊與準晶體
「帽子」的發現揭示了一些與非周期鋪砌塊磚有關的新穎數學。然而，對於粒子在這種結構中傳播的物理學，仍然是沒有被探索的領域。
在一項新發表於【物理評論快報】雜誌的研究中，一個研究團隊就計算了 一種二維材料中的電子的性質，這種材料是一種基於「帽子」形狀的準晶體，其中的原子位於「帽子」的頂點 。
通常，科學家在研究一種材料時，會觀測其電子能量與其波長之間的關系。根據量子物理學，電子以波的形式在物質中傳播，而波長可以表示這些波的大小。在這種能量-波長關系中，研究人員發現， 「帽子」準晶體與石墨烯 （一種碳二維晶體） 具有驚人的相似之處 。這種相似性可能是因為，「帽子」的許多頂點，都是沿著像石墨烯一樣的六邊形網格排列的。
「帽子」鋪砌塊是由單一的鋪砌塊形狀、而非多個形狀組成的這一事實，實際上有助於解釋它是如何跨越晶體和準晶體的界限的。單鋪砌塊意味著它比其他非周期性鋪砌塊更接近周期性，但卻不會出現重復。
「帽子」與石墨烯的不同
不過，「帽子」準晶體也與石墨烯有不同之處，比如「帽子」鋪砌塊是 手性 的，這意味著如果對這種材料進行鏡面反射，那麽它的電子就會有不同的行為。在真實的材料中，這種手性可能會影響光與物質的交互作用。
在這個動畫中，一個基於「帽子」鋪砌塊的模擬材料顯示，隨著磁場的增加，電子開始被捕獲。更亮的顏色表示找到零能電子的機率更高。（圖/A. GRUSHIN/INSTITUT NÉEL/CNRS）
當研究人員將這種材料置於磁場中時，更多有趣的特征出現了。在「帽子」鋪砌塊中，一小部碎形狀是其他部份的映像。電子，特別是那些零能電子，會在特定的磁場值下被捕獲在翻轉的「帽子」周圍。
研究人員認為，這些發現非常有趣。雖然這種材料目前完全是理論上的，但研究人員提出了一些將這種材料變為現實的方法。例如，可以透過在一個平面上將分子按照「帽子」的形狀放置。
