數學，這門學科自幼我們就開始接觸。在90後們的小學記憶裏，數學和語文齊頭並進，占據著同等重要的位置。後者是日常生活中不可或缺的溝通工具，而前者則是思維邏輯的基石。
我們或許對數的概念的起源不甚了解。甚至連數學是文明的產物還是人類意識中固有的邏輯基礎這一問題都無從得知。
我們所知的最早的數學工具套用記錄來自於結繩計數。這種方法傳遞出簡單而直接的數學資訊。
人類最初對自然界總持有一種古樸的理解。例如，人是被神所創造，天地有方有圓，物質可以無限分割。這些樸素的觀念在數學領域中便反映為對整數的樸素觀念。
古代的人們傾向於認為整數可以代表自然界的一切。直到畢達哥拉斯學派揭示了直角三角形的勾股關系，人們才開始認識到數位世界裏不曾預見的變革。
以一個邊長為1的等腰直角三角形為例，其斜邊長度為根號2，但當我們試圖精確計算這個數值時，卻發現它似乎無限延伸，永無止境。根號2成為人類認知的第一個無理數。
在畢達哥拉斯之前，古希臘的哲學家們相信整數體現了自然界的和諧與秩序。根號2的出現打破了這種簡潔的美感。
此後，數學家們開始研究無理數，掙脫了整數的束縛。對無理數的研究還引領人類思考了無限的概念。例如，將一條線段無限細分，總會出現無理數長度的段落。
在這期間，芝諾提出了著名的四大悖論，即芝諾悖論。
其中最著名的便是芝諾的烏龜悖論。按照芝諾的理論，你永遠追不上一只烏龜，哪怕你是世界最快的運動員。因為你在追烏龜的過程中總得先經過烏龜前進路程的一半，而當你追上這一半時，烏龜已經又前進了一段。你永遠陷入追趕烏龜路程一半的困境中。
但這一結論與現實明顯相悖。正因如此，悖論的出現迫使人類深入思考無窮的概念和意義。
今日我們很容易就能看清芝諾悖論的漏洞：對線段的無限二分需要無限的時間，而運動員擁有的時間是有限的，因此不能在有限時間內完成無限的行動，從而避免了追擊烏龜時的邏輯困境。
對無理數和無窮概念的深入理解化解了第一次數學危機，開啟了新的數學研究領域。
微積分的出現是牛頓和萊布尼茲的偉大貢獻。借助微積分，人們可以解決很多前所未有的復雜問題，如精確計算不規則土地面積和曲線長度等。
微積分的核心思想是無限細分再整合。它常常涉及到無限逼近的概念。例如，在某點處的曲線斜率可以透過一個直角三角形來逼近，而三角形斜邊的斜率就是曲線在該點的切線斜率。
然而，牛頓時代的人們並未完全理解微分、積分和導數的真正含義。
以求曲線某點切線斜率為例，可以在該點附近取一個直角三角形，其邊長無限小，並用三角形的斜邊斜率代替切線斜率。當時人們認為，即便直角三角形的邊長再小，其比值也僅是三角形斜邊的斜率，而非切線斜率。
實際上，牛頓時代的人們沒有意識到導數和微分的區別。一個無限逼近的直角三角形斜邊斜率，就是曲線在某點的切線斜率。就如同無限小量最終會逼近0，我們真正追求的並非無限小量本身，而是那個0。同樣地，我們追求的並非直角三角形斜邊無限逼近某一數值的斜率，而是曲線在某點的切線斜率。而我們清楚，直角三角形斜邊的極限無限逼近一個數值，同樣地，曲線在某點的切線斜率也無限逼近這個數值，因此我們可以斷定，曲線在該點的切線斜率便是直角三角形斜邊無限逼近的那個數值。
舉個例子，有兩位富豪甲和乙。我們知道乙的資產，但甲的資產則是個未知數。甲說乙的資產總是無限逼近他的，但永遠達不到。乙說他的資產難計算，大概有9999萬99999999....元，即無限逼近一億。那麽我們可以斷定，甲的資產便是一億。
第二次數學危機的根源在於對微積分的理解偏差。
第二次數學危機到第三次數學危機的間隔約有200年。
第三次數學危機源自對集合論的質疑，始於1897年福爾蒂發現的集合論悖論，以及康托爾和羅素各自提出的悖論。羅素悖論尤其著名。在這個悖論中，一位自稱手藝精湛的理發師在招牌上寫道：「我只為所有不給自己理發的人理發」。那麽，他會給自己理發嗎？如果他理了，就違背了招牌上的宣言；如果他不理，那麽他也違背了自己的宣言。
許多人認為羅素悖論只是對集合定義的詭辯，但至今無人能完美解決這一問題。
羅素悖論像哲學的本體論，區分了唯心主義和唯物主義。如果我們從本體論的角度解讀羅素悖論，會發現其中的矛盾和困惑。
如果我們是主觀唯心主義者，會認為世界只是意識的產物，那麽「我」的概念是否也是意識的虛構？如果是，那麽「我對我概念的質疑」是否也是虛構的？這樣的質疑不斷遞迴，最終我們可能對意識的主動性產生質疑，不知道意識本體何在。那麽你的意識到底存在嗎？如果你的意識存在，請解釋之前的矛盾。如果你的意識不存在，那麽世界就不是你所宣稱的唯心主義了，這與你最初的唯心主義宣言相悖。
羅素悖論就如同此，總在嘗試將自己置身事外，但換個角度看，自己卻又處於事物之中。那麽，我們到底在事物之中還是之外？
