深入理解函式——2024年湖北省中考模擬數學第24題
作為2024年湖北省中考模擬數學卷（非武漢地區）的終極BOSS，本題最後一問的設定很巧妙，事實上它是一個新函式，即要求學生用函式的觀念去理解這一問涉及到的變量，前面兩個小問一如既往比較簡單。
函式綜合題的考查對命題的確是極高的要求，我們在教學中經常說函式課要有函式味道，而不能把函式教學局限於復雜的代數恒等變換，看上去參數眾多，實際上就是「死算」；全國各地中考題對函式綜合的命題，越來越多地開始檢驗學生對概念的深層理解，包括新定義題型，在個人看來，本題適當改編，也不失為新定義的優秀素材，那究竟要如何體現函式味道，我們一起來看本題。
題目
在平面直角座標系中，拋物線y=-x²+bx+c（b，c是常數）與x軸交於點A（-1，0），B（3，0），與y軸交於點C，P為x軸上方拋物線上的動點（不與點C重合），設點P的橫座標為m.
(1)直接寫出b，c的值；
(2)如圖，直線l是拋物線的對稱軸，當點P在直線l的右側時，連線PA，過點P作PD⊥PA，交直線l於點D，若PA=PD，求m的值；
(3)過點P作x軸的平行線與直線BC交於點Q，線段PQ的長記為d.
①求d關於m的函式解析式；
②根據d的不同取值，試探索點P的個數情況.
解析：
(1)由條件可知該二次函式二次項系數為-1，直接由交點式寫出y=-(x+1)(x-3)=-x²+2x+3，即b=2，c=3；
(2)PD⊥PA且PA=PD，所以構造「一線三直角」模型即可解決各點座標的關聯問題，如下圖：
顯然圖中△APF≌△PDE，先寫出點P座標為(m,-m²+2m+3)，然後表示出PF=-m²+2m+3，DE=m-1，於是由PF=DE列方程式為-m²+2m+3=m-1，解得m=(1+√17)/2；
(3)本題一定要認真作圖，一定要認真觀察圖形的變化，按要求在備用圖中作x軸的平行線，可以發現這條平行線隨點P位置不同，交點Q的位置也隨之變化，如下圖：
在草圖中，我們需要思考以下幾個問題：
第一，過點P且平行於x軸的直線，與拋物線的交點情況；
第二，這條平行線與拋物線的哪個交點可記為點P？
第三，PQ的長度d如何用含m的代數式表示？
①拋物線的頂點為(1,4)，當點P位於此處時，d=2，這是特殊位置；然後我們求出直線BC的解析式為y=-x+3，從而可表示出點Q座標為(m²-2m，-m²+2m+3)，為後面表示出d作準備；
當點P在第一象限時，此時點Q在點P左側，d=m-(m²-2m)=-m²+3m；
當點P在第二象限時，此時點Q在點P右側，d=(m²-2m)-m=m²-3m；
綜上可得d=-m²+3m(0<m<3)或d=m²-3m(-1<m<0)；
②在前面對點P位置的討論過，我們簡單地用點P所在象限分類，其實還是有邏輯上的「漏洞」，即前面所說第二個問題，哪個交點可記為點P？
除了點P在拋物線頂點處時，這條平行線與拋物線均有兩個交點，即點P有兩處，如下圖：
那前面的討論中為何不分兩處來寫解析式呢？
因為無論上圖中的點P或點P'，其座標都是同一種，都用參數m表示，而m本身的取值，有兩個結果，從解析式角度來看，並無問題；
但輪到討論點P個數時，問題就來了，圖中很明顯，當d的取值不同，滿足條件的點P不止一處，所以我們需要重新用變量的觀念去理解問題。
當點P在第一象限時，d=-m²+3m=-(m-3/2)²+9/4，說明在這個範圍內，d是有最大值9/4的，如下圖：
當m=3/2時，PQ長度最大，我們過點P作BC的垂線段PG，此時PG長度也最長，即點P到直線BC的距離最長；由於△BOC是一個等腰直角三角形，很容易證明△PQG也是等腰直角三角形，因此我們建立了PQ與PG間的關聯，即d=√2PG，當點P在第一象限時，PG的長度變化趨勢是：點P從B運動到點C，PG先變長，到圖中PG位置時最長，然後又變短，到達點C時，d=0；
現在我們將這種探討方式推廣，當點P在第二象限的時候，我們發現PG的長度變化趨勢是：點P從點C運動到點A，PG先變長，當PG長度超過前面的「最大長度」後，還在繼續變大，直到到達點A，此時d=4，如下圖：
於是根據前面的探索，我們成功將問題轉化為點P到直線BC的距離，與點P個數間的關系，現在理解起來就容易多了；
總體上d的範圍是0<d<4，其中特殊值為d=9/4，推導如下：
為幫助理解，我們過點P作直線BC的平行線，請註意在兩側各有一條平行線，即直線m和直線n，仍然先看特殊情況，當PG=9√2/8時，d=9/4，滿足條件的點P有兩個，如下圖：
當0<PG<9√2/8時，滿足條件的點P有三個，如下圖：
當9√2/8<PG<2√2時，滿足條件的點P只有一個，如下圖：
解題反思：
從最難想的第三問看，如何尋找d與點P個數間的關系，很多學生沒能找到門路，因為d的值並不是和點P位置一一對應，如果本題根據點P位置去求d的值，這個難度一下子就降低了，所以說這道題的命題很智慧。
當然，解這道題之後，作為老師，接下來就是思考如何講給學生懂，如果把自已的思維過程以清晰的脈絡呈現出來，學生才有可能理解清楚，所以在思考解法講授的時候，多畫了幾組圖，事實上在解題過程中，並沒有繪制這麽多圖示。
d值與線段PQ長度有關，雖然PQ看上去很「直」，但最終不如轉化成PG長度直觀，顯然PG看上去是「斜」，這也可以看作是化斜為直的反套路，經此一役，學生應該明白，數學中的「斜」或「直」，永遠是相對的，不可拘泥。
一旦問題轉化成點P到直線BC的距離與點P個數的關系，則問題又變成了「老熟人」，這是典型的化歸思想。
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