正交矩阵的作用主要体现在以下几个方面：
正交变换
几何变换：正交矩阵可以用于表示旋转和镜像操作。在二维中，一个矩阵是正交矩阵当且仅当它表示一个绕原点的旋转或镜像。在三维及以上，每个正交矩阵可以唯一地表示为一系列绕某个轴的旋转矩阵的乘积。因此，正交矩阵能够简洁地表示各种几何变换。
坐标变换：正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵，这个性质在坐标变换中非常有用。例如，如果一个向量经过旋转后变成了另一个向量，那么可以用正交矩阵来表示这个旋转。为了将旋转后的向量转换回原向量，可以使用正交矩阵的逆矩阵，即其转置矩阵。这使得在不同坐标系之间进行转换变得容易。
机器学习：正交矩阵在机器学习中也有广泛的应用。例如，在主成分分析（PCA）中，需要将原始数据投影到一组新的正交基向量上，以降低数据的维度。正交矩阵可以用于计算这些新的基向量，并保证它们之间的正交性和单位长度。此外，在卷积神经网络（CNN）中，卷积层通常使用正交权重矩阵来提取图像特征，以获得更好的分类性能。
信号处理：正交矩阵在信号处理中也常常用于信号的压缩和降维。
统计学和概率论：在多元统计分析中，正交矩阵可以用于变量旋转，以帮助理解不同变量之间的关系。在正交设计中，正交矩阵可以用于构造实验设计矩阵，以便在最小化干扰因素的同时，最大化所研究因素的效应。
综上所述，正交矩阵在几何、坐标变换、机器学习、信号处理以及统计学和概率论等领域都有着重要的应用。
