「量子纠缠」这个词已广为人知，无需再行解释。然而，众多不靠谱的文章反而使人对量子纠缠的概念越发迷茫。有些文章为了迎合大众，甚至将量子纠缠比作心灵感应或是与太极八卦相提并论。科普作家的水平限制了读者的理解深度，专业的学问仍然需要精确的阐述。本文将介绍一些符号和数学，但尽可能保持易懂。虽然通俗与严谨难以兼顾，但本文将尝试做到两者平衡。
首先，让我们回顾一下光学的发展历史。人类对光的本质的探索深化了我们对微观世界的理解。
在牛顿时代之前，人们已经开始探讨光的本质。虽然牛顿之前的历史不作过多讨论，牛顿本人则认为光是极微小的粒子，这一理论能够很好地解释光为何沿直线传播。当然，也有人持反对意见，例如惠更斯和与牛顿同时代的胡克，他们都支持光的波动理论。如果光仅为粒子，则难以解释光的衍射和干涉现象。
从现代的角度看，无论是粒子说还是波动说，它们都属于经典力学的范畴，各有其片面性。直到20世纪初，随着量子力学的兴起，我们对光的本质有了新的理解。爱因斯坦的光量子假说认为光并非牛顿描述的实体粒子，而是光量子，即电磁波能量的基本单位，不可分割。
光量子通常称为光子，它既表现为量子，也表现为波。光同时具备粒子性和波动性，这被称为光的波粒二象性。
这种波粒二象性不仅适用于光子，其他微观粒子也具有相同特性。
例如，电子的双缝干涉实验也显示，即便被视为粒子的电子亦具有波动性。该实验的更为神奇的发现是，一个电子能同时通过两个缝隙到达屏幕。我们现在知道，当电子未被观测时，它可以同时存在于两个地点。用波粒二象性解释，未观测时电子同时具有粒子性和波动性，处于叠加状态；观测则使其波粒状态坍塌至纯粒子状态，波动性消失。从不确定性原理（原误译为测不准原理）来看，电子的动量和位置不能同时精确测定；动量越准确，位置越模糊，反之亦然。
这种令人称奇的现象经过越来越多实验证实确实存在。如果量子力学的解释是错误的，那么今天你也不可能使用手机和电脑。现代科技革命正是建立在这些「荒谬」的自然现象之上。
尽管有些非主流科学家试图推翻哥本哈根学派对这些自然现象的解释，并捍卫物理的现实论，但科学家们的态度是：既然这是自然事实，就应当接受。现在的任务是找出合适的数学工具来解释这些现象。
现在我们了解到，所有微观粒子都具备波粒二象性，并且都处于叠加态。德布罗意波则告诉我们，所有物体，即便是像地球这样的宏观天体，也具有波动性，只不过因为幅度极小而难以观测到。
让我们以电子为例探讨什么是叠加态。理论上一个电子可以同时存在于美国和中国。但如何用数学描述这种现象呢？
我们知道，传统的电子计算机处理的是0和1这样的比特位。而量子计算机的威力在于它能同时处理这两个比特位，从而在计算速度上远超传统计算机。
物理学家狄拉克发明了一种符号，即狄拉克符号|ψ>，来描述叠加态的粒子。在这个符号中，粒子的两个可能状态可以被视为物理学中的矢量，既有大小也有方向，因此叠加态也被称为态矢量。
狄拉克符号的核心是符号| 和 >，中间的ψ仅代表粒子的状态。这种符号，如（）一般，用于表达物理形态，不应因陌生符号而感到恐惧。
我们知道，电子可以同时处于0和1的状态。用狄拉克符号表示，电子处于0的状态是|0>，1的状态是|1>。如果不观察电子，它就处于0和1的叠加态，即|0>+|1>。
在讲解一些基本的数学概念之前，假设有一个函数f(x,y)=xy，这个函数可以分解为两个单独的一元函数的乘积，如f(x,y)=f'(x)f"(y)。这意味着复杂的函数可以被分解成简单的子函数，这在数学上称为分离函数。
但并非所有函数都是分离函数。例如，函数f(x,y)=8xy+1就不能简单分离为两个一元函数。这表明这类函数无法分离。
在多个微观粒子组成的系统中，如果这个多元函数可以被简单地分解为两个一元函数，那么这两个粒子就不存在任何「经济」纠纷，即一个粒子的测量不会影响另一个粒子。
在多元函数中，存在着无法分离的函数，这意味着两个粒子共享同一个函数，无法分家。这种情况下，对其中一个粒子的测量必然影响另一个粒子的状态，这两个粒子因此形成了纠缠粒子。
继续探讨狄拉克符号。设想一个粒子的状态为a|0>+b|1>。在观测这个粒子后，无论是处于0状态还是1状态，理论上它都可能出现在空间的任何位置。在狄拉克公式中，无论是0状态还是1状态，都需要在其前面加上任意的数a和b。a和b的存在使得叠加态的粒子能出现在任何位置，因为这两个参数可以取任意值。
然而，a和b之间必须保持一定的关系。想象一下，不管粒子在哪里，整
个空间中找到这个粒子的概率总应该是100%，粒子不可能在整个宇宙空间中消失。如果我们将整个空间理解为数学上的1，则有|a|²+|b|²=1。如果我们设定a和b均为1，那么a|0>+b|1>的形式就变成（|0>+|1>）/√2（除以根2是为了确保|a|²+|b|²=1，因为我们前面已经设定了a和b均为1）。
（|0>+|1>）/√2也是单粒子叠加态的最常见表达方式。如果甲乙两个粒子处于同一个系统中，它们的状态可以表示为|00>+|11>，这个表达式中的加号左侧的（|00>的第一个0表示甲的0状态，第二个0表示乙的0状态，右侧的|11>中的第一个1表示甲的1状态，第二个1表示乙的1状态。我们也可以继续写出a|00>+b|11>的形式，如果|a|²+|b|²仍等于1，那么我们可以确认甲乙两个粒子处于叠加态，此时的狄拉克表达式为|00>+|11>/√2。实际上，|00>+|11>/√2表明这两个粒子之间存在某种无法分解的联系，这种联系即|a|²+|b|²=1。你可以将这种联系视为前文提到的不可分离函数。
这就是量子纠缠的本质，这种联系意味着即使两个粒子相距遥远，测量其中一个粒子的状态，另一个粒子的状态也会同时发生变化。
