物理异端：弹丸实际上不会产生抛物线

随着 新学年的开始，新一批高中生和大学生将首次学习物理学，从力学和运动开始。而且，就像数百年来的情况一样，追溯到牛顿时代，学生们将继续学习几代以前的学生所学到的相同神话：任何在地球引力场中投掷、射击或发射的物体都会在撞击地面之前追踪出抛物线。如果您忽略风、空气阻力或任何其他地球物体的影响等外力，这个抛物线形状描述了物体的质心如何非常准确地移动，无论它是什么或其他因素。

但根据万有引力定律——无论你使用牛顿的万有引力定律还是爱因斯坦的广义相对论——抛物线对于一个受引力束缚的物体来说都是一个不可能追踪的形状。数学就是禁止它。如果我们能设计出一个足够精确的实验，我们就会测量出地球上的抛物线与我们在课堂上得出的预测抛物线路径的微小偏差：在人类的尺度上是微观的，但仍然很重要。相反，扔到地球上的物体会沿着椭圆轨道划出一条类似于月球绕地球运行的轨道。这是意想不到的原因。

如果要对地球表面的引力场进行建模，可以做出两个简化假设。

1. 您可以假设地球（至少在您附近的局部区域）是平坦的，而不是弯曲的。

2. 您可以假设地球的引力场相对于您当前的位置 直接指向下方 ，而不是指向太空中的同一「点」，即使您的位置发生了变化。

因此，任何时候您投掷和释放一个物体时，释放的物体都会进入称为自由落体的情况，无论它拥有的初始轨迹（包括角度和速度）如何。

进一步假设我们忽略了除重力之外的所有力——没有摩擦力、没有阻力/空气阻力、没有升力或滑行效应等——那么就很容易计算出这个物体的运动将如何变化。在平行于地球表面（水平）的方向上，任何弹丸的速度都将保持恒定和不变。然而，在垂直于地球表面的方向（垂直）上，你的弹丸将以 9.8 m/s² 的速度向下加速：地球表面重力产生的加速度。如果你做出这些假设，那么你计算的轨迹将永远是抛物线，与全球物理课上教授的内容完全一致。

然而，在上面所做的两个假设中，事实证明它们都不完全正确。地球可能看起来是平的——与平的地球没有区别，以至于我们无法在大多数弹丸覆盖的距离上检测到它——但现实是，地球作为一个整体，呈现出球状。即使相距仅几米，完美平坦的地球和弯曲的地球之间的差异也会在 1,000,000 分之一的水平上发挥作用：当然，这是一个很小而微妙的水平，但这个水平可以通过足够精确的测量设备来感知。

事实证明，我们两个近似值中的第一种对于单个弹丸的轨迹并不重要，就像你自己后院的局部变化使得仅从如此小区域的地形来测量地球的曲率相当困难，如果不是不可能的话。

另一方面，第二个近似值非常重要。从其路径上的任何地方，弹丸并不是真正在垂直方向上「笔直向下」加速，而是朝着地球中心加速。在水平方向上仅覆盖几米的相同适度距离的弹丸将经历人们可能认为的「垂直向下」与「朝向地心」之间的角度差异，而这种差异再次在 1,000,000 分之 1 的水平上发挥作用。如果我们想从技术上了解它，这是地球不是平的，而是具有球状形状的结果。

对于您在自然界中可能遇到的典型系统，类似于：

与抛物线的偏差将出现在相对模型级别：只有几十到一百微米，这比单个草履虫的长度还要小。但真正的轨迹既具有教育意义，又令人着迷，因为它是由约翰内斯·开普勒 （Johannes Kepler） 在牛顿出现前半个多世纪得出的。

就像月球一样，任何在引力作用下与点状质量结合时开始运动的弹丸都会划出一个椭圆轨道，其中地球中心是该椭圆的一个焦点。这是开普勒的第一个行星运动定律，也是第一个正确描述行星围绕太阳的运动以及卫星围绕行星的运动等等的日心模型。与月球相反，地球上的弹丸唯一的困难是地球不能再被视为点状，因为地球表面本身会挡路。因此，人类观看弹丸只能看到椭圆的一小部分：略微高于地球表面的部分，到达其轨迹的峰值（在天体力学中称为远日点），然后落回地球中心，直到它再次撞击地球表面。

然而，每次地球表面挡住我们的弹丸时，问题就会再次出现。如果弹丸完全反弹，它将创建一个全新的椭圆片段供其轨迹跟随，这也可以很好地用抛物线来近似。任何弹跳的球，无论是像篮球一样的圆形还是像美式橄榄球一样形状不同的球，都会在每次弹跳之间看到它的质心勾勒出一组抛物线（或近乎完美的抛物线）。虽然是重力决定了它的形状，而它的作用就像一个弹丸，但重力与弹丸每次撞击地面时轨迹都会改变的原因无关。

发生这种情况的原因完全不同，我们大多数人认为这是理所当然的：地球是由相同类型的东西构成的，即正常物质，与典型的弹丸是用的。正常物质通常由质子、中子和电子组成，不仅会受到引力，还会受到核力和电磁力的影响。正是电磁力导致了我们在由原子组成的物体之间经历的典型相互作用，从而实现了弹性和非弹性碰撞，并防止我们的弹丸简单地滑过地球并勾勒出完整的椭圆。

然而，我们可以通过想象我们有一个东西作为我们的弹丸，它与正常物质没有任何相互作用（除了纯粹的引力相互作用）。也许它可能是一个低能中微子，它与物质的横截面可以忽略不计。也许它可能是一个暗物质粒子，它可能有也可能没有自相互作用，但它与正常物质的相互作用程度受到严重限制，这与完全没有非引力相互作用（和零横截面）一致。无论哪种情况，一旦我们释放了这个弹丸，它只会受到引力，并且只会在引力的作用下穿过地球本身的表面和内部。

然而，如果你预计这个粒子会变成一个闭合的椭圆，并在大约 ~90 分钟后回到它最初被抛出的地球表面上方，那么你就做了另一个不太正确的近似值。当我们计算轨道轨迹时，我们将地球视为一个点：它的所有质量都直接位于其中心。当我们计算卫星、空间站甚至月球的轨迹时，这很好。但对于穿过地球表面的粒子来说，这种近似值不再有用。一旦你进入地球的内部，就会发现它是一个极其复杂的实体。

从引力的角度来看，我们对待地球的方式与我们对待等于整个地球质量的「点质量」相同，但其位置是由地球本身的中心（或者更严格地说，质心）给出的。只要您位于形状像球体（或椭球体）的质量块的外部，在重力的影响下，所有这些质量都会在功能上将您吸引到物体的中心。然而，如果你位于那个质量内，那么事实证明，该质量的所有部分，如果位于你当前位置的外部，或者比你现在的位置 「外部 」更远，都会产生抵消的引力效应，只有那个质量的更内层部分才会在引力上吸引你。

换句话说，你，一个受到像地球这样的行星引力影响的物体，只能感觉到位于你内部的地球部分的引力效应，假设你所在位置外部的一切都是球对称的。在电磁学中，这是高斯定律的公证结果;在引力物理学中，牛顿首先为他的万有引力定律证明了它，并且作为（相关的） 伯克霍夫定理 的结果，即使在广义相对论的背景下也被证明是正确的。从实际角度来看，这意味着一旦你开始从地球上坠落，你所经历的总内质量的引力会越来越小。

这张四颗类地行星（加上地球的卫星）的剖面图显示了这五个世界的核心、地幔和地壳的相对大小。尽管地球的直径只比金星大 5%，但它的质量比水星、金星、火星和月球的总和还要大。如果你能像一个不与地球发生电磁相互作用的弹丸一样穿过地球内部，那么当你从一个内部层过渡到另一个内部层时，你会看到你的轨迹会略有变化。

虽然当你作为一个弹丸，完全在地球表面之外时，你的真实轨迹和理想化的椭圆之间没有区别，但当你从地球上坠落时，你的实际轨迹形状会开始发生显著变化。它将变为：

当你穿过各个层之间的界面时，包括地幔-核心边界和外-内核边界，你会注意到不仅你的轨迹有平滑的变化，而且你描绘的形状也有一些不连续的 「扭结」，对应于地球内部的各个层（密度不同）。

你不应该完全从地球的另一侧重新出现，但你确实会大量地穿过地心，在地幔甚至地壳中转身，这取决于一些不太容易计算的微妙影响。不仅不同深度的不同密度不完全清楚，而且地球内部不同层的旋转速度也存在一些不确定性。即使你考虑一个质量穿过地球，根据它所走的确切路径，动力学摩擦或单个粒子之间的力也开始发挥作用。

当一个粒子经过其他大质量粒子时，它会受到引力吸引。如果一个粒子加速超过所有其他粒子，它会使它们的轨迹偏转到它刚刚经过的地方，这具有减慢原始粒子运动的净效果。根据原始弹丸相对于地球自转和内部运动的方向，这可能会影响任何粒子穿过地球的轨迹，其影响量不可忽略。

在单个轨道的时间跨度内（仍然需要大约 85-90 分钟左右），这可能会产生足够大的效果，以至于弹丸不会返回其原始起点。如果我们结合以下效果：

弹丸不会形成闭合的椭圆，而是会返回到一个由其起点偏移最多 ~10 米的点。在足够长的时间和足够长的距离内，即使是百万分之一的影响（记住，地球的直径超过 12,000 公里）也可能非常大。

对于大多数实际应用，特别是当弹丸在地球表面上方仅飞行几秒钟时，将弹丸视为仅具有抛物线轨迹并不会影响您的精度。但是，如果您：

你不应该再把地球的引力场看作一个常数。一切都被地球的引力加速，但并不是任何纯粹、绝对意义上的真正「向下」。相反，引力加速度指向地球中心，从而能够显示弹丸的真实轨迹——椭圆。

研究地球外部和地球内部的各种影响，也可以告诉我们何时以及在什么情况下做出这些考虑是重要的。对于大多数应用来说，空气阻力是一个比地球内部各层或动力摩擦等任何影响都要大得多的问题，将地球的引力场视为常数是完全合理的。但对于某些类别的问题，这些细微的差异确实很重要。我们可以自由地做出我们选择的任何近似值，但是当我们的准确性超出可接受的阈值时，识别真正起作用的全套内容就变得至关重要。