女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。
数学家格奥尔格·康托尔、作家豪尔赫·路易斯·博尔赫斯以及博尔赫斯短篇小说【阿莱夫】的主人公卡洛斯·阿根蒂诺·达内里在这里被视为一个谜题的三块拼图。我们将这三块拼图拼在一起，就会发现一个惊人的数字。
1. 格奥尔格·康托尔
格奥尔格·费迪南德·路德维希·菲利普·康托尔（1845-1918年）出生于俄罗斯圣彼得堡，但他一生的大部分时间是在德国度过的，11岁时随家人迁居德国。他被认为是有史以来最伟大的数学家之一，他看待数学的方式令人惊叹。他认为数学的本质是自由，并建议将纯数学称为自由数学[13]。他催生了集合论，大卫·希尔伯特（David Hilbert）将集合论描述为：
康托尔为我们创造的天堂，没有人能把我们驱逐出去。[16]
康托尔认为，不可能只有一个无穷大，但一定有比其他无穷大更大的无穷大。在集合论中，数被视为集合，为了区分它们，他定义了无穷数。他还谈到了绝对无穷（用Ω表示），他将其与上帝相提并论，并认为绝对无穷无法用数学形式化。康托尔将「小的」无限数（相对于上帝而言是小的）命名为阿莱夫0、阿莱夫1、阿莱夫2（表示为ℵ0、ℵ1、ℵ2）等。此外，他还定义了它们之间的运算。
尽管康托尔塑造了一个天堂，但他的身心却生活在地狱中，因为他与精神疾病作斗争，他在哈勒的一家精神病院度过了最后的岁月。此外，在1901年，他的天堂似乎坍塌了，因为伯特兰·罗素（Bertrand Russell）指出，他的集合论本身就包含一个悖论。事实上，康托尔的理论并不排除存在一个包含所有不属于自己的集合的集合：
R = {S ：S是集合，且S不是S的元素}。
这个集合属于它自己吗？任何答案都会导致矛盾，这一悖论的发现使数学界对康托尔理论的稳健性产生了怀疑。后来，数学家恩斯特·泽梅洛（Ernst Zermelo）、阿道夫·亚伯拉罕·哈列维·弗兰克尔（Adolf Abraham Halevi Fraenkel）和阿尔伯特·索拉尔夫·斯科莱姆（Albert Thoralf Skolem）对集合论进行了新的公理化，成功地将康托尔的天堂从悖论中解脱出来。然而，康托尔的生命却没有得到挽救，今天，月球黑暗面上的一个陨石坑就是以格奥尔格·康托尔的名字命名的，以纪念他的黑暗命运。
2. 博尔赫斯的数学
豪尔赫·弗朗西斯科·伊西多罗·路易斯·博尔赫斯·阿塞韦多（1899-1986 年）出生于阿根廷布宜诺斯艾利斯，卒于日内瓦，一生留下了不朽的文学遗产，其中包括充满创造力、想象力、梦想和数学的奇妙作品。1971年，当诺贝尔经济学奖和图灵奖获得者赫伯特·西蒙采访他时，博尔赫斯说：
「我的许多想法都是对的：的确，我的许多想法都来自于对逻辑和数学书籍的阅读。但话虽如此，每当我开始阅读这些书籍时，我都会觉得它们打败了我，我还没能完全理解它们。[24]」
我读过博尔赫斯的许多作品，我相信他实际上能够充分理解许多令他着迷的数学概念。他利用这种能力创造了奇迹。博尔赫斯的做法与【爱丽丝漫游奇境记】[11] 的作者、数学家刘易斯·卡罗尔的做法相似。也就是说，他推倒了人类筑起的一堵将数学与文学隔开的墙。
关于博尔赫斯在写作中运用数学的文献浩如烟海（参见[1, 2, 10, 12, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 25]）。他的作品中经常出现的两个数学概念是悖论和无限。关于时间的无限性，他说：
永恒是一种绚丽的艺术，它把我们从时间流逝的难以忍受的压迫中解放出来，哪怕只是片刻。[4]
他在【卡夫卡和他的先驱们】[9]、【阿喀琉斯和乌龟的永恒竞赛】[3]和【乌龟的化身】[5]中，从哲学和数学的角度讨论了阿喀琉斯和乌龟的悖论。在【死亡与指南针】[7]中，他利用了这一悖论，但并未明确提及：
沙尔拉赫，当你以其他化身追捕我时，在 A 处假装犯罪（或确实犯罪），然后在距离 A 处8公里的 B 处第二次犯罪，然后在距离 A 和 B 处4公里的 C 处第三次犯罪，在这两个地方的中途。稍后在 D 处等我，D 处距离 A 和 C 两公里，再次位于两者的中途。
博尔赫斯在接受赫伯特·西蒙（Herbert Simon）[24] 的采访时也说过，他从罗素的数学著作中获得了灵感。因此，罗素悖论经常以各种形式出现在博尔赫斯的作品中也就不足为奇了。例如，博尔赫斯多次提到[22]一幅地图，约西亚·罗伊斯在其著作【世界与个人】[23]中将其描述为一幅在英格兰的一部分土地上完美描绘的英格兰地图。这幅地图如此精确，以至于它包含了一幅地图的地图，而这幅地图又包含了一幅地图的地图，如此等等。这种自指地图让人联想到罗素悖论；我们在博尔赫斯的【巴别图书馆】[6] 中也能找到类似的想法：
像所有图书馆的人一样，我年轻时也曾旅行；我曾漫步寻找一本书，也许是目录中的目录；
以及【阿莱夫】[8]。这就是我们现在要进一步分析的故事1。
3. 卡洛斯·阿根蒂诺·达内里
博尔赫斯的短篇小说【阿莱夫】[8]中只有两个活跃的人物： 一个是博尔赫斯本人，另一个是被博尔赫斯描述为狂妄自大的诗人卡洛斯·阿根蒂诺·达内里。卡洛斯小时候在地窖里发现了一个「阿莱夫」：
空间中包含所有其它点的点之一。……世界上唯一一个所有地方都在的地方……从每个角度看，每个地方都清晰可见，没有任何混淆或融合。
自从发现了它，卡洛斯就对它着了迷。因为他能从阿莱夫看到宇宙的每个角度，所以他想写关于世界每个角度的诗句。但博尔赫斯并不欣赏卡洛斯的诗歌和个性。他甚至无法完全理解他们，直到有一天，他在卡洛斯的地窖里亲眼看到了阿莱夫：
我从每一个点和角度看到了阿莱夫，在阿莱夫中我看到了世界，在世界中看到了阿莱夫，在阿莱夫中看到了世界；我看到了自己的脸和自己的肠子；我看到了你的脸；我感到头晕目眩，流下了眼泪，因为我的眼睛看到了那个秘密的、猜想中的物体，它的名字是所有人都知道的，但却没有人看过--无法想象的宇宙。我感到无限惊奇，无限怜悯。
4. 博尔赫斯的阿莱夫和康托尔的天堂
尽管博尔赫斯的「阿莱夫」在概念上与康托尔的「阿莱夫数」大相径庭，但博尔赫斯显然想向康托尔的集合论致敬。这不仅体现在名称的选择上，也体现在对罗素悖论的引用上（在阿莱夫数中我看到了世界，在世界中看到了阿莱夫数，在阿莱夫数中看到了世界），还体现在博尔赫斯对这一主题的了解上。在短篇小说的结尾，博尔赫斯在谈到包含所有其他点的那个点的名字时，也直接提到了康托尔的著作。他说，他从卡洛斯那里听说了「阿莱夫」这个名字，但他不知道卡洛斯是从哪里知道这个名字的。他说，ℵ是希伯来字母表的第一个字母，也是 Mengenlehre（德语，集合论）中用来表示无穷级数的字母。有趣的是，康托尔的名字并没有出现在这篇短篇小说的西班牙文原版中，但却出现在由诺曼·托马斯·迪·乔瓦尼与博尔赫斯合作翻译的英文版中。
我也扪心自问： 如果博尔赫斯想让卡洛斯·阿根蒂诺·达内里以某种方式诠释格奥尔格·康托尔，那会怎样？卡洛斯是发现阿莱夫（他说是我的阿莱夫）的人，他对阿莱夫如此着迷，以至于变成了一个疯子。康托尔是「阿莱夫数之父」，他曾与精神健康问题作斗争。但是，康托尔的人生并没有一个美好的结局，而卡洛斯在博尔赫斯的故事中确实从他的问题中恢复过来了（我不会告诉你他是如何恢复过来的）。我认为博尔赫斯也想给坎特的人生一个圆满的结局。我想，在博尔赫斯的这些篇章的结尾，康托尔又找到了他作品中一贯的自由。
参考文献
[1] William Goldbloom Bloch, The Unimaginable Mathematics of Borges’ Library of Babel , Oxford University Press, 2008.
[2] William Goldbloom Bloch, 「Lost in a Good Book: Jorge Borges’ In escapable Labyrinth,」 pages 155-165 in Imagine Math: Between Culture and Mathematics , edited by Michele Emmer (Springer Verlag Italia,2012).
[3] Jorge Luis Borges, 「La perpetua carrera de Aquiles y la tortuga,」 in Discusión , Bs. As., Manuel Gleizer, 1932.
[4] Jorge Luis Borges, Historia de la eternidad , Viau y Zona, Buenos Aires, 1936.
[5] Jorge Luis Borges, Los avatares de la tortuga , Sur, 1939.
[6] Jorge Luis Borges, 「La biblioteca de Babel,」 in El Jardín de senderos que se bifurcan (Sur, 1941).
[7] Jorge Luis Borges, La muerte y la brújula , Sur, 1942.
[8] Jorge Luis Borges, 「The Aleph,」 translation by Norman Thomas Di Giovanni in collaboration with the author, 1945.
[9] Jorge Luis Borges, Otras inquisiciones , chapter Kafka y susprecursores, Sur, 1952.
[10] Baylee Brits, Mathematics and Modernism: Jorge Luis Borges, Samuel Beckett and J.M. Coetzee , PhD thesis, University of New South Wales, 2015.
[11] Lewis Carroll, Alice’s Adventures in Wonderland , Macmillan, 1865.
[12] Gemma Curto, 「Chaos and Borges: A map of infinite bifurcations,」 Anuari de Filologia. Literatures Contemporànies , Volume 7 (2017), pages 33–47.
[13] Joseph Warren Dauben, 「Georg Cantor and Pope Leo XIII: Mathematics, Theology, and the Infinite,」 Journal of the History of Ideas , Volume 38 Issue 1 (1977), pages 85–108.
[14] Oscar Antonio Di Marco, 「Borges, the Quantum Theory and Parallel Universes,」 The Journal of American Science , Volume 2 Issue 1 (2006). doi: 10.7537/marsjas020106.01
[15] N. Katherine Hayles, Chaos and order: complex dynamics in literature and science , University of Chicago Press, 1991.
[16] David Hilbert, 「Über das unendliche,」 Mathematische Annalen , Volume 95 (1926), pages 161–190.
[17] John T. Irwin, The Mystery to a Solution: Poe, Borges, and the Analytic Detective Story , Johns Hopkins Univ. Pr., 1993.
[18] Siva Prashant Kumar, Borges and Mathematics. Los juegos con eltiempoy con lo infinito , Master’s thesis, University of Sydney, 2015.
[19] Ema Lapidot, Borges and Artificial Intelligence: An Analysis in the style of Pierre Menard , Peter Lang Inc., International Academic Publishers, 1991.
[20] Guillermo Martínez, Borges y la matemática , Seix Barral, 2006.
[21] Floyd Merrell, Unthinking Thinking: Jorge Luis Borges, Mathematics and the New Physics , Purdue University Press, 1991.
[22] Piergiorgio Odifreddi, 「Un matematico legge Borges,」 Asia – Associazione Spazio Interiore Ambiente , 1997.
[23] Josiah Royce, The World and the Individual , Peter Smith Pub Inc, 1976.
[24] Herbert Simon, 「Borges–Simon: detrás del laberinto,」 Revista Primera Plana , 1971.
[25] Allen Thiher, Fiction Refracts Science: Modernist Writers From Proust To Borges , University of Missouri Press, Columbia, 2005.
[26] Raffaella Mulas, The Aleph of Borges and the Paradise of Cantor
青山不改，绿水长流，在下告退。
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