一顶神奇的「帽子」
2023年3月末，一顶神奇的「 帽子 」，让众多数学家惊叹不已。现在，这顶「帽子」，已经进入了物理学领域。
「帽子」实际上是一种由多个风筝形状组成的十三边形，它是数学家在寻找已久之后发现的首个「 爱因斯坦 」。
「帽子」是首个被发现的单铺砌块。（图/D. SMITH ET AL/ARXIV.ORG 2023）
「爱因斯坦」源自于德语中的 ein Stein ，即「一块石头」的意思，指的是 单铺砌块 （monotile） 。单铺砌块指的是 一个可以填满无限平面，且不会自我重复的 非周期性 铺砌块。非周期性意味着，由这种形状构成的整体图案，不能通过平移或旋转来恢复相同的图案。
在数学的铺砌领域，寻找「爱因斯坦」是许多数学家追求了半个多世纪的一座「圣杯」。在「帽子」出现之前，数学家需要多种形状来组成非周期铺砌块。比如数学家发现的首个可以覆盖无限平面的非周期铺砌是由2万多种形状组成的。在后续的研究中，数学家们在逐渐地缩小这一数字。
直到上世纪70年代，著名数学家和物理学家 罗杰·彭罗斯 （Roger Penrose） 仅使用两种不同的菱形，完成了非周期性铺砌。
由两种菱形组成的彭罗斯铺砌。（图/scipython）
彭罗斯铺砌块与自然世界有着深厚的联系。1982年，材料科学家 丹·谢赫特曼 （Dan Shechtman） 发现， 准晶体 （一种有序但非周期性的晶体） 的分子结构中，也存在与彭罗斯铺砌块相似的对称性。他也因这一发现而获得了2011年的诺贝尔化学奖。
单铺砌块与准晶体
「帽子」的发现揭示了一些与非周期铺砌块砖有关的新颖数学。然而，对于粒子在这种结构中传播的物理学，仍然是没有被探索的领域。
在一项新发表于【物理评论快报】杂志的研究中，一个研究团队就计算了 一种二维材料中的电子的性质，这种材料是一种基于「帽子」形状的准晶体，其中的原子位于「帽子」的顶点 。
通常，科学家在研究一种材料时，会观测其电子能量与其波长之间的关系。根据量子物理学，电子以波的形式在物质中传播，而波长可以表示这些波的大小。在这种能量-波长关系中，研究人员发现， 「帽子」准晶体与石墨烯 （一种碳二维晶体） 具有惊人的相似之处 。这种相似性可能是因为，「帽子」的许多顶点，都是沿着像石墨烯一样的六边形网格排列的。
「帽子」铺砌块是由单一的铺砌块形状、而非多个形状组成的这一事实，实际上有助于解释它是如何跨越晶体和准晶体的界限的。单铺砌块意味着它比其他非周期性铺砌块更接近周期性，但却不会出现重复。
「帽子」与石墨烯的不同
不过，「帽子」准晶体也与石墨烯有不同之处，比如「帽子」铺砌块是 手性 的，这意味着如果对这种材料进行镜面反射，那么它的电子就会有不同的行为。在真实的材料中，这种手性可能会影响光与物质的相互作用。
在这个动画中，一个基于「帽子」铺砌块的模拟材料显示，随着磁场的增加，电子开始被捕获。更亮的颜色表示找到零能电子的概率更高。（图/A. GRUSHIN/INSTITUT NÉEL/CNRS）
当研究人员将这种材料置于磁场中时，更多有趣的特征出现了。在「帽子」铺砌块中，一小部分形状是其他部分的镜像。电子，特别是那些零能电子，会在特定的磁场值下被捕获在翻转的「帽子」周围。
研究人员认为，这些发现非常有趣。虽然这种材料目前完全是理论上的，但研究人员提出了一些将这种材料变为现实的方法。例如，可以通过在一个平面上将分子按照「帽子」的形状放置。
