历代文人大抵都爱雪，古今中外留下了不少咏雪的佳作。在这些作品中，或歌咏「千里冰封，万里雪飘」的壮丽景色，或颂扬雪花洁白晶莹，纯净透明的高雅品质，却很少有人专写雪花的形状。数学家则对雪花的形状情有独钟，它给数学家以丰富的联想，并给一门崭新的学科——分形几何的诞生提供了奠基的素材。
1973年，美国哈佛大学教授、数学家曼德布鲁特首次提出了分维和分形几何的设想。分形几何是一门研究对象是自然界、人类社会和思维活动中广泛存在着的无序而具有自相似性的系统。例如，弯弯曲曲的海岸线、起伏不平的山脉、粗糙不堪的断面、变幻无常的浮云、九曲回肠的河流、纵横交错的血管、令人眼花僚乱的满天繁星等。因此分形几何又称为描述大自然的几何学。它们的特点是，极不规则或极不光滑。
1904年，瑞典数学家科赫构造的「雪花曲线」，严格地显示了分形这种有趣的特征。
设想给出一个正三角形，再不断进行如下变换：在每边正中的三分之一边上再造一个凸出来的正三角形，使原三角形变成六角形；在这个六角形的12条边的每条边中间的三分之一上再凸出一个正三角形，变成一个4 × 12 = 48（边）形；反复操作这种变换以至无穷，其边缘愈来愈增添精细结构，得到一个由分形曲线围成的「科赫岛」，好似一个雪花（如下图）。
上图就是科赫研究的「雪花曲线」，小朋友，让我们也来画一条雪花曲线，请跟着步骤并看下图：
（1）画一个如图（1）那样的等边三角形，然后把三角形的每条边三等分。
（2）在每条边三等分后的中段向外画出新的等边三角形，像图（2）那样去掉与原三角形叠合的边。
（3）接着对每个等边三角形尖出的部分继续上述过程，即在每条边三等分后的中段，像图（3）那样向外画新的尖形。
……
不断重复这样的过程，慢慢地雪花曲线就成形了。
如果你是个有恒心的人，你会发现，这个步骤可以一直进行下去，三角形的边上能够不停地画出新尖儿，真可谓可以画到天荒画到地老， 这时，你会想到什么？对了，雪花曲线有着无限的周长！
虽然雪花曲线的周长没有界限，但是整条曲线却可以画在一张很小的纸上，所以它的面积是有限的。
有限的面积中包含着无限的周长，雪花曲线真的是能屈能伸！数学家就是应用这种思想，对自然界中的一些复杂的形体进行了「分形」研究。找到它们的基本元素图，然后进行逐步地「分形」，就可能精确地描述出这些图形了。
下面让我们来看下面这个分形图，请说一说它是由哪一个基本元素图分形之后得到的？是怎样进行分形的？
我想你看了这个图之后，一定很容易发现这个分形图的基本元素就是最简单的线段（粗细不计），它是在线段的顶端生出两条长度是原线段长的一半的线段，再在新生出的两条线段的顶端各生出两条长度是前两条线段长的一半的线段，如此不断地生出新的线段，就形成这个分形图。
让我们一起来画一画这个分形图：设原线段的长度为1厘米，画在边长为2厘米的正方形内。
你画对了吗？我们知道在树形图的生成过程中，树的高度是不断增加的，如果规定树形图第一层的高度为1米，那么随着生长次数的无限增加，这棵「树」是否会冲破教室的天花板，甚至冲破整幢楼的房顶，成为一棵「参天大树」？宽度呢？那图中所有「树枝」长度呢？
我想，你在画的过程中一定有所感觉，无论我们画多少次，都不会超出这个框，所以「树」的高度、宽度是有限的，但树枝又是不断生长的。
我们已经研究了两个分形图，你是否感觉非常有趣？
科学家们用这个方法对自然过程中不规则模式和无穷复杂的形状进行探索。今天，分形几何学已经在许多学科，例如，物理、化学、生物、地理、天文、材料科学等方面，都得到了广泛的应用。
