如果我突然告诉你，两条平行线也可以相交，你会觉得不可思议。因为惯性思维认为，只有两条不相交的直线才能叫平行线， 所以从平行线的定义就已经限定了其肯定没有交点 。
然而科学的发展往往容易推翻一些看似绝对合理的结论。比如当初牛顿认为，引力的作用是瞬间传递的。但是经过爱因斯坦相对论的解析，原来引力的传递也是需要时间的， 引力传递的速度就是光速 。
所以我们熟知的平行线定理，在一些特殊情况下，也未必正确了。也许你的第一反应是，平行线是不是相交于无穷远处。其实这种方式只是在玩文字游戏， 因为在几何学中，交点本身必须是可见的 。如果你说平行线相交于无穷远处，那么意味着你永远看不见交点，这不就等于说平行线无交点吗？
其实这里我们只需切换一个固有思路，那就是不要把平行线画在平面上，而是画在曲面上，情况就完全不一样了。首先要告诉大家一个事实，那就是曲面上也是有直线的。要判断一条线到底是不是直线， 不能只看人眼的视觉效果，而是要看这条线本身的属性 。
这里举一个例子，我们在一张纸上画出一条直线，此时我们当然知道，这条线是直的，但是如果我把纸折叠起来，弯曲成一个拱形，那么从视觉上看，这条线已经变成曲线了，但是从几何学角度来看，它依然是直线。因为并不是直线本身弯曲了，而是直线所在的平面发生了弯曲。当你重新审视直线的定义后， 你会发现，在曲面上依然存在直线。只不过这类直线在视觉效果上看不像直线而已 。
有了这个认知，我们进一步推理，曲面上为何平行线也可以相交。其实这源自于平面几何的五个公理。我们知道，任何科学理论的建立，最开始都需要经历一个从无到有的过程。早期的探索，必须凭借经验和直觉先建立一些基础的理论，然后再后续的研究过程中，不断去检验这些理论的正确性，并以此为基础继续向前发展。
而平面几何最早建立了5条公理。其中最后一条公理翻译成大白话就是：平行线永远不会相交。然而历史上一些数学家曾经质疑过这第五公理，比如俄国的数学家罗巴切夫斯基， 他认为这第五条公理是多余的，如果去掉以后，几何学依然成立 。借由这个推论，他终于创建了一门全新的几何学，也就是罗氏几何。
然而当时他将自己的成果写成书信寄送给了当时世界上几位数学界的重量级人物时，没有一个人认可他的理论。而罗巴切夫斯基到死也没能看到自己的理论进入几何学教科书，这不可不谓是一个遗憾。最终在他死后12年，一位意大利的数学家从理论上证明了罗氏几何的正确性。
而伴随着曲面几何的发展，人们再次将第五公理做了修改，从原来的过直线外一点，只能引出一条平行线，修改为，过直线外一点，一条平行线也引不出来。 如此一来，黎曼几何就诞生了。自此，几何学发展到这里，才算获得了一个完美的收官 。
也许很多人觉得，似乎平面几何已经完全够用了，为何要去发展其它几何学，这不是多此一举吗？其实数学本身就是探索其它自然科学的工具。工具发明出来自然是为了方便人类使用。在一般情况下，平面几何的确足够用了，但是，是否能用，和用起来是否方便，这是两回事。
比如，此时你如果想针对地理坐标建立一套理论，用平面几何就会出现很多麻烦的三角函数等复杂的数学符号，但是如果用曲面几何，计算过程不仅简洁，而且便于理解。 所以判断一门数学理论是否正确，除了在逻辑上必须自恰外，还需要在使用过程中是否能简化问题本身 。平行线可以相交就说明，一些看似绝对合理的结论，未必真的合理。
